3.3. Расчет зубчатых колес редуктора

Выбор материалов и термической обработки зубчатых колес

Для изготовления зубчатых колес в основном применяются углеродистые и легированные стали. Механические свойства сталей, применяемых для изготовления зубчатых колес, приведены в табл. 3.10.

При выборе материалов учитывают, что у шестерни число циклов нагружения и напряжения изгиба больше, чем у колеса. Поэтому для обеспечения равнопрочности элементов передачи, а также устранения задиров и заеданий, необходимо, чтобы у прямозубых передач с Н  350 НВ твердость шестерни превышала твердость колеса на 25…50 единиц НВ, а у косозубых и шевронных – на 50…100 единиц (в редукторах общего назначения применяют колеса с твердостью зубьев Н  350 НВ). Для колес с твердостью Н  350 НВ назначают марки сталей, подвергающиеся улучшению, редко – нормализации. Для колес с твердостью Н > 350 НВ назначаются марки сталей, подвергающиеся закалке с нагревом током высокой частоты, цементации, азотированию.

В зависимости от вида редуктора, условий его эксплуатации и требований к габаритным размерам выбирают необходимую твердость колес и соответствующий вариант термической обработки (т.о.) [2]: I т.о. колеса –улучшение, твердость НВ 235262; т.о. шестерни – улучшение, твердость НВ 269302. Марки сталей одинаковы для колеса и шестерни: 45, 40Х, 40ХН, 35 ХН и др.; II т.о. колеса – улучшение, твердость НВ 269302; т.о. шестерни – улучшение и закалка ТВЧ, твердость в зависимости от марки стали (см. табл. 3.10) НRС 4550; 4853. Марки сталей одинаковы для колеса и шестерни: 45, 40Х, 40ХН, 35 ХН и др.; III т.о. колеса и шестерни одинаковая – улучшение и закалка ТВЧ, твердость поверхности в зависимости от марки стали: НRС 4550; 4853. Марки сталей одинаковы для колеса и шестерни: 40Х, 40ХН, 35 ХН и др.; IV т.о. колеса – улучшение и закалка ТВЧ, твердость поверхности в зависимости от марки стали (см. табл. 3.10) НRС 4550; 4853; т.о. шестерни – улучшение, цементация и закалка, твердость поверхности НRС 5663. Материал шестерни – сталь марки 20Х, 20ХН2М, 18ХГТ, 12ХН3А и др.; V т.о. колеса и шестерни одинаковые – улучшение, цементация и закалка, твердость поверхности НRС 5663. Марки сталей одинаковы для колеса и шестерни: 20Х, 20ХН2М, 18ХГТ, 12ХН3А, 25ХГН и др.

Чем выше твердость рабочей поверхности зубьев, тем выше допускаемые контактные напряжения и тем меньше размеры передачи. Поэтому для редукторов, к размерам которых не предъявляют особых требований, следует применять дешевые марки сталей типа 45 и 40Х с т.о. по вариантам I или II.

Таблица 3.10

Марка стали	Термическая обработка	Твердость НВ (средняя)	Предел прочности σв, МПа	Предел текучести σт, МПа	Диаметр заготовки, мм
45	Нормализация	260 190	500 570	340 290	До 80 100 – 500
45	Улучшение	230 210 200	780 730 690	440 390 340	До 90 90 – 120 св. 120
40ХН, 35ХМ	Улучшение	280 265 250	930 880 835	690 590 540	До 150 150-180 св. 180
Марка стали		Твердость НRC		Термообработка
40Х, 40ХН, 35ХМ, 20ХГМ, 18ХСТ, 12ХМ3А, 25ХГМ		45-55 56-67		Закалка Улучшение, цементация, закалка

Допускаемые напряжения

Расчет закрытых зубчатых передач ведут по допускаемым контактным напряжениям, а проверочный расчет производят по напряжениям на контактную и изгибную прочность.

Допускаемые контактные напряжения

[σ_H] = σ_{H lim b}  K_HL  Z_R  Z_v / [S_н],

где σ_{H lim b} — предел контактной выносливости при базовом числе циклов (табл. 3.11); [S_Н] – коэффициент безопасности; Z_R – коэффициент, учитывающий шероховатость сопряженных поверхностей зубьев; Z_v – коэффициент, учитывающий окружную скорость передачи; К_НL – коэффициент долговечности.

Таблица 3.11

Химико-термическая или термическая обработка	Марки сталей	Твердость	σH lim b, МПа	σF lim b, МПа	[SF]
Нормализация, улучшение	45; 40X; 40XH; 35XM	Н < 350 НВ	2НВ+70	1,8 НВ	1,75
Закалка ТВЧ по контуру зубьев	40Х; 40ХН; 35ХМ	Н = 40…50 НRСэ	17HRCэ+200	680	1,75
Объемная закалка		Н = 38…50 НRСэ	18HRCэ+150	500	1,8
Цементация и закалка	20Х; 20ХН2М; 18ХГТ; 12ХН3А; 25ХГМ	H  56 НRСэ	23HRC	950	1,55

Коэффициент безопасности зубчатых колес с однородной структурой материалов S_Н = 1,1 с поверхностным упрочнением зубьев, S_Н = 1,2. Коэффициент Z_R = 0,91,0 (Z_R = 0,95 при R_а = 2,51,25; Z_R = 0,9 при

R_а = 105). Коэффициент Z_v = 1 1,16; чем меньше скорость передачи и тверже зубья, тем меньше Z_v. При v  5 м/с Z_v = 1. Коэффициент К_НL определяют из диаграммы (рис. 3.2) в зависимости от отношения N_НE/N_Н0, где N_НE – эквивалентное число циклов напряжения в зубьях, соответствующее рабочему числу циклов передачи с постоянным режимом нагружения, а N_Н0 – базовое число циклов напряжений в зубьях, которое принимают по графику (рис. 12.21 [1]) в зависимости от твердости НВ рабочей поверхности зубьев или вычисляют по формуле

N_Н0 = 30  Н^2,4_НВ  12010⁶.

Эквивалентное число циклов напряжений при работе передачи с постоянной нагрузкой

N_НE = 60  с  n  t,

где с – число одинаковых зубчатых колес, сцепляющихся с рассчитываемым зубчатым колесом; n – частота вращения рассчитываемого зубчатого колеса, об/мин; t – продолжительность работы передачи под нагрузкой за расчетный срок службы, ч; при передаче с переменными нагрузками

где Т_max – максимальный крутящий момент, передаваемый зубчатым колесом в течение времени t за весь срок службы передачи частоте вращения колеса n; Т₁, Т₂, , Т_i – передаваемые зубчатым колесом крутящие моменты в течение времени t₁, t₂, , t_i при частоте вращения n₁, n₂, , n_i.

Коэффициент долговечности определяют по формулам:

при N_НE<N_Н0

при N_НE > N_Н0

Предельные значения К_НL ограничиваются [5]. Для стальных колес К_НL  2,6 при объемном упрочнении и К_НL  1,8 при поверхностном упрочнении. При N_НE/N_Н0> 1 коэффициент долговечности К_НL = 1.

В качестве допустимого контактного напряжения для прямозубых колес принимают меньшее из двух: [σ_Н1] и [σ_Н2]. Для прямозубых колес расчетное допускаемое контактное напряжение

[σ_Н] = 0,45  ( [σ_Н1] + [σ_Н2] ),

где [σ_Н1] и [σ_Н2] – допускаемые контактные напряжения соответственно шестерни и колеса.

После их определения следует проверить выполнение условия

[σ_Н]  1,23  [σ_min],

где [σ_min] – меньшее допускаемое контактное напряжение из двух [σ_Н1] и [σ_Н2], как правило, равно [σ_Н2].

Допускаемые напряжения при расчете на выносливость зубьев при изгибе

Методика выбора допускаемых напряжений приведена в ГОСТ 21354–75. Для редукторов общего назначения пользуются формулой

[σ_F] = σ_{F lim b}  К_FL  К_FC / S_F,

где σ_{F lim b} – предел выносливости зубьев при изгибе, соответствующий базовому циклу напряжений (табл. 3.11); S_F – коэффициент безопасности (табл. 3.11); К_FL – коэффициент долговечности; К_FC – коэффициент, учитывающий влияние двустороннего приложения нагрузки на зубья; при одностороннем действии К_FC = 1.

Коэффициент долговечности

где N_F0 и N_FE – соответственно базовое и эквивалентное число циклов напряжений. Для зубчатых колес с твердостью поверхности зубьев НВ350, а также со шлифованной переходной поверхностью зубьев показателя корня m = 6, для зубчатых колес с НВ>350 и нешлифованной переходной поверхностью m =9. Базовое число циклов напряжений N_F0 = 410⁶ Мпа. Эквивалентное число циклов перемены напряжений N_FE при работе передачи с постоянной нагрузкой

N_FE = 60  с  n  t,

где с – число одинаковых колес, сцепляющихся с рассчитываемым зубчатым колесом; n – частота вращения рассчитываемого зубчатого колеса, об/мин; t – продолжительность работы передачи под нагрузкой за расчетный срок службы.

Эквивалентное число циклов перемены напряжений N_FE при работе передачи с переменными нагрузками

N_FE =

При N_FE > N_F0 принимают К_FL = 1.

Значение коэффициента К_FС принимают: при односторонней нагрузке на зубья К_FС = 1, а при двусторонней К_FС = 0,70,8 (большее значение при НВ>350).

Расчет зубьев на изгиб производят по тому зубчатому колесу, для которого отношение [_F] / У_F имеет меньшее значение.

Допускаемое максимальное напряжение на изгиб зубьев при твердости поверхностей зубьев НВ350 [_F]_max = 0,86_т, где _т – предел текучести материала зубьев при растяжении; при твердости НВ>350 [_F]_max= 0,86_в, где _в – предел прочности материала при растяжении (табл. 3.10).

Последовательность проектировочного расчета

При проектировочном расчете определяют ориентировочное значение межосевого расстояния

,

где для прямозубых передач К_a = 49,5, для косозубых и шевронных передач К_a = 43,0; передаточное число зубчатой передачи u = u₂; Т₃ — крутящий момент на валу колеса Нмм; К_Hβ — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по ширине венца (рис. 3.1);

ψ_ba = b / a_w — коэффициент ширины венца по межосевому расстоянию, для прямозубых передач принимают ψ_ba = 0,125…0,25, для косозубых ψ_bа = 0,25…0,4, для шевронных ψ_ba = 0,5…1,0 (ГОСТ 2185-66, ряд 0,100; 0,125; 0,160; 0,250; 0,315; 0,400; 0,500; 0,800; 1,00; 1,25).

После определения межосевого расстояния а_w, мм, его округляют до ближайшего значения по ГОСТ 2185–66.

Первый ряд: 40, 50, 63, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 315, 400, 500, 630, 800, 1000, 1250, 1600, 2000, 2500.

Второй ряд: 71, 90, 112, 140, 180, 224, 280, 355, 450, 560, 710, 900, 1120, 1400, 1800, 2240.

Первый ряд следует предпочесть второму.

Рис. 3.1

Выбирают модуль m, мм, в интервале (ГОСТ 9563—60)

m_n = (0,01 – 0,02)  а_w.

Первый ряд: 1; 1,25; 2; 2.5; 3; 4; 6; 8; 10; 12; 10; 20.

Второй ряд: 1,375; 1,75; 2,25; 2,75; 3,5; 4,3; 7;9; 11; 14; 18; 22.

Первый ряд предпочтительней второго.

Для косозубых колес стандартным считают нормальный модуль m_n.

Для шевронных колес стандартным может быть как нормальный модуль m_n, так и окружной m_t.= m_n / сos.

Определение чисел зубьев колес

Суммарное число зубьев z_Σ = z₁ + z₂.

У прямозубой передачи z_Σ = (2  а_w) / m_n; z₁ = z_Σ / (u + 1), z₂ = z_Σ – z₁; полученные значения округляют до целых чисел. Величину z₁ сравнивают с рекомендуемыми значениями по табл. 3.12.

Если после выбора z₁ и z₂ величина а_w = (m  z_Σ) / 2 будет отличаться от принятого стандартного значения, то можно принять новый модуль из рекомендуемого диапазона (см. выше) и повторить расчет.

Таблица 3.12

Частота вращения шестерни n1, об/мин	Рекомендуемое минимальное число зубьев шестерни z1
	Прямозубой	Косозубой
1000	24…26	20…22
500…1000	22…24	18…20
100…500	18…22	16…18
100	17…18	16

Для косозубых и шевронных колес со стандартным нормальным модулем

z_Σ = (2  а_w  cosβ) / m_n.

Угол наклона линии зуба принимают для косозубых колес в интервале β = 8…15, для шевронных β = 25…40. Определяют значение z₁=z_Σ/(u+1) и z₂ = z_Σ – z₁. По округленным значениям z₁ и z₂ уточняют передаточное число u = z₂ / z₁.Затем находят с учетом окончательно принятого z_Σ значения cosβ = (z_Σ  m_n) / (2  a_w) и торцового модуля m_t=m_n / cosβ. Вычисления выполняют с точностью до пятого знака после запятой.

Направление зуба в косозубых передачах рекомендуется принимать для колес правое, а для шестерни — левое. Проверку межосевого расстояния для косозубых и шевронных колес с нормальным стандартным модулем осуществляют по формуле

а_w = 0,5  (z₁ + z₂)  (m_n / cosβ).

Основные размеры, степень точности шестерни и колеса (рис. 3.2). Силы, действующие в зацеплении.

Диаметры делительные находят из равенства d₁ = (m_n / cosβ)  z₁; d₂ = (m_n / cosβ)  z₂; проверка а_w = (d₁ + d₂) / 2.

Диаметры вершин зубьев d_a1 = d₁ + 2  m_n; d_a2 = d₂ + 2  m_n.

Диаметры впадин d_f1 = d₁ – 2,5  m_n; d_f2 = d₂ – 2,5  m_n.

Ширина колеса b₂ = ψ_bа  а_w; полученные значения округляют до большего ближайшего числа из ряда (Ренора) R_a 20 (22; 25; 28; 40; 45; 50; 56; 63; 71; 80; 90; 100; 110; 125; 140; 160; 180; 200;) или R_a 40 (11; 13; 15; 17; 19; 21; 24; 26; 30; 34; 38; 42; 48; 53; 60; 67; 75; 85; 95; 105; 120; 130; 150; 170; 190), ГОСТ 6636–69.

Ширина шестерни b₁ = b₂ + 5 мм.

Рис. 3.2

Для шевронных зубчатых колес, выполняемых с канавкой посредине, предназначенной для выхода червячной фрезы, нарезающей зубья, ширину а канавки определяют по отношению а / m:

m, мм ……………… 2 3 4 5 6

а / m ……………….. 15 14 13 12 10

Коэффициент ширины шестерни по диаметру ψ_bd = b₁ / d₁, окружная скорость в зацеплении, м/с,

v = (ω₁  d₁) · 10 ^–3 / 2.

Используя значения окружной скорости, по табл. 3.13 уточняют степень точности передачи и по формулам табл. 3.14 определяют силы, действующие в зацеплении.

Проверка зубьев на контактную выносливость

Проверочный расчет на контактную выносливость рабочих поверхностей зубьев состоит в определении контактных напряжений σ_Н на рабочих поверхностях зубьев и сопоставление их с допускаемыми [σ_Н]:

Таблица 3.13

Степень точности зубчатых колес (по ГОСТ 1613-81)	Окружная скорость передачи v, м/с
	прямозубой			непрямозубой
	цилиндрической	конической	цилиндрической		конической
5 и более точные	 15	 12	 30		 20
6	 15	 12	 30		 20
7	 10	 8	 15		 10
8	 6	 4	 10		 7
9	 2	 1,5	 4		 3

Таблица 3.14

Сила, Н	Вид передач
	Прямозубая	Косозубая или шевронная
Окружная	Ft = 2T1  103 / dw1 = 2T2  103 / dw2
Радиальная	Fr = Ft  tgw	Fr = Ft  tgw/cos
Осевая	—	Fx = Fa = Ft  tg

Коэффициент Z_H учитывает форму сопряженных поверхностей зубьев, Z_H = ;  – основной угол наклона зуба;  – угол зацепления,  = 20.

Коэффициент Z_М учитывает механические свойства материалов сопряженных колес. Для зубчатой передачи со стальными зубчатыми колесами Z_М = 190.

Коэффициент Z_ учитывает суммарную длину контактных линий. При _ < 0,9 Z_ = ; _ > 0,9 Z_ = .

Коэффициент торцевого перекрытия

_ = [1,88 – 3,2 (1/Z₁ + 1/Z₂)]сos.

Коэффициент осевого перекрытия

_ = b sin / m .

Окружное усилие в зацеплении F_t, Нмм – табл. 3.14. Значение коэффициента К_Нβ определяют по табл. 1.15 или по графику рис. 3.2.

Коэффициент К_Нα, учитывающий распределение нагрузки между зубьями, определяют по табл. 3.16.

Коэффициент К_Нv, учитывающий динамическую нагрузку, возникающую в зацеплении, определяют по табл. 3.17 или по формуле

К_Нv = 1 + w_Нv  b / F_t  К_Нα  К_Нβ,

где w_Нv – удельная окружная динамическая сила, Н/мм.

w_Нv = _Н  g₀  v  .

Коэффициенты _Н и g₀ выбираются по табл. 10,4, 10.5 [4]

Вычисленное контактное напряжение сравнивают с допускаемым

 = {([_H] – _H)/ [_H]}100% .

Допускаемое максимальное контактное напряжение

[_H]_max = 2,8  _т МПа,

где _т – предел текучести (табл. 3.10).

Так как кратковременная нагрузка передачи больше номинальной в раза, то проверяют условие прочности по максимальной нагрузке

_Hmax = _H  < [_H]_max .

Проверка зубьев на выносливость по напряжениям изгиба. Условие выносливости по напряжениям изгиба:

σ_F = ( F_t  K_F  Y_F  Y_β  K_Fα ) / ( b  m_n )  [σ_F] .

Окружное усилие в зацеплении F_t, Нмм – табл. 3.14. Значение коэффициента К_F = K_Fβ  K_Fv определяют по табл. 3.15 или по графику рис. 3.1.

Коэффициент нагрузки К_F = K_Fβ  К_Нv, где K_Fβ — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по длине зуба (коэффициент концентрации нагрузки); К_Нv — коэффициент, учитывающий динамические действия нагрузки (коэффициент динамичности).Значения коэффициентов К_Fβ приведены в табл. 3.18, составленной на основании графиков ГОСТ 21354–75 с некоторыми упрощениями. Ориентировочные значения коэффициента динамичности К_Нv приведены в табл. 3.19.

Таблица 3.15

вd = b/d1	Твердость поверхности зубьев
	Н  350 НВ			Н  350 НВ
	I	II	III	I		II	III
	KH
0,4	1,15	1,04	1,0		1,33	1,08	1,02
0,6	1,24	1,06	1,02		1,50	1,14	1,04
0,8	1,30	1,08	1,03		—	1,21	1,06
1,0	—	1,11	1,04		—	1,29	1,09
1,2	—	1,15	1,05		—	—	1,12
1,4	—	1,18	1,07		—	—	1,16
1,6	—	1,22	1,09		—	—	1,21
1,8	—	1,25	1,11		—	—	—
2,0	—	1,30	1,14		—	—	—
Примечание: I — к передачам с консольным расположением зубчатых колес; II — к передачам c несимметричным расположением колес по отношению к опорам; III — к передачам c симметричным расположением колес

Таблица 3.16

Степень точности зубчатых колес	Окружная скорость v, м/с
	 1	5	10	15	20
	КH для косозубых и шевронных передач
6	1	1,02	1,03	1,04	1,05
7	1,02	1,05	1,07	1,10	1,12
8	1,06	1,09	1,13	—	—
9	1,1	1,16	—	—	—
Для прямозубых колес КH = 1

Таблица 3.17

Передача	Твердость Н поверхности зубьев	Окружная скорость v, м/с
		До 5	10		15	20
		Степень точности зубчатых колес
		8		7
		КНv
Прямозубая	Н  350 НВ Н  350 НВ	1,05 1,10	—		—	—
Косозубая и шевронная	Н  350 НВ Н  350 НВ	1,0 1,0	1,0 1,05		1,02 1,07	1,05 1,10

Коэффициент, учитывающий форму зуба Y_F для зубчатых колес, выполненных без смещения, имеет следующие значения:

z 17 20 25 30 40 50 60 70 80 100 и более

Y_F 4,28 4,93 3,90 3,80 3,70 3,66 3,62 3,61 3,61 3,6

Для непрямозубых передач значение Y_F выбирают по эквивалентному числу зубьев z_v = z / cos³ β.

Коэффициент Y_β компенсации погрешности определяют по формуле:

Y_β = 1 – ( β / 140 ),

где β – угол наклона делительной линии зуба, град.

Коэффициент K_Fα учитывает неравномерность распределения нагрузки между зубьями.

Для зубчатых колес, у которых коэффициент осевого перекрытия

ε_β = ( b  tg β) / (π  m_t) < 1, K_Fα = 1,0.

При ε_β 1:

К_Fα = [4 + (ε_α – 1)  (n – 5)] / (4  ε_α),

где ε_α — коэффициент торцового перекрытия; n — степень точности зубчатых колес.

При среднем значении ε_α = 1,5 и 8-й степени точности К_Fα = 0,92.

Таблица 3.18

вd = b/d1	Твердость Н рабочих поверхностей зубьев
	Н  350 НВ				Н  350 НВ
	I	II	III	IV	I	II	III	IV
	KF
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8	1,00 1,03 1,05 1,08 1,10 1,13 1,19 1,25 1,32	1,04 1,07 1,12 1,17 1,23 1,30 1,38 1,45 1,53	1,18 1,37 1,62 — — — — — —	1,10 1,21 1,40 1,59 — — — — —	1,03 1,07 1,09 1,13 1,20 1,30 1,40 — —	1,05 1,10 1,18 1,28 1,40 1,53 — — —	1,35 1,70 — — — — — — —	1,20 1,45 1,72 — — — — — —
Примечание: I — к симметричному расположению зубчатых колес относительно опор; II — к несимметричному; III — к консольному при установке валов на шариковых подшипниках; IV — то же, что и при установке валов на роликовых подшипниках.

Таблица 3.19

Степень точности зубчатых колес	Твердость Н рабочей поверхности зубьев	Окружная скорость v, м/с
		 3	3…8	8…12,5
		КFv
6	Н  350 НВ Н  350 НВ	1/1 1/1	1,2/1 1,15/1	1,3/1 1,25/1
7	Н  350 НВ Н  350 НВ	1,15/1 1,15/1	1,35/1 1,25/1	1,45/1,2 1,35/1,1
8	Н  350 НВ Н  350 НВ	1,25/1,1 1,2/1,1	1,45/1,3 1,35/1,2	– /1,4 – /1,3
Примечание: в числителе приведены значения КFv для прямозубых передач, в знаменателе – для косозубых