Некоторые позиционные задачи

Задачи по определению взаимного расположения элементов геометрических фигур называются позиционными.

Эти задачи включают две группы: задачи на принадлежность (инцидентность) и на пересечение фигур.

Задачи принадлежности

Рассмотрим условия принадлежности (инцидентности) фигур.

Условие 1. В соответствии с инвариантом 3) если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит одноименной проекции прямой. Отсюда, точка тогда принадлежит прямой, когда одноименные проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой и лежат на линиях связи.

Например (Рис. 25 а), точка А принадлежит прямой а, так как одноименные проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой и лежат на линии связи: А₁  а₁, А₂  а₂  А  а. Точка В не принадлежит прямой а, так как одноименные проекции точки не принадлежат одноименным проекциям прямой: В₁а₁, В₂а₂  Ва.

а б в
Рисунок 25

На рис. 25 а по условию точка К принадлежит прямой а: К  а. Для построения недостающей проекции К₂ при известной проекции К₁  а₁ необходимо через К₁ построить линию связи, перпендикулярную оси x₁₂, до пересечения с проекцией прямой а₂, индексировать точку пересечения одноименным индексом К₂  а₂ (Рис. 25 б).

Замечание: если проекции прямой не перпендикулярны оси x₁₂ , то для решения достаточно использовать плоскости П₁ и П₂, в противном случае необходима плоскость П₃. Например (Рис. 25 в), для построения недостающей проекции точки N₂ при известной проекции N₁  р₁ необходимо сначала построить проекцию N₃  р₃, воспользовавшись ломаной линией связи, затем построить N₂  р₂.

Условие 2. Прямая тогда принадлежит плоскости, когда она проходит через две точки, принадлежащие плоскости.

	 (а  b) а б
	Рисунок 26

 (АВС) а б

Рисунок 27

На рис. 26 а, точка А принадлежит прямой а, определяющей плоскость  (а  b), потому что одноименные проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой: А₁  а₁, А₂  а₂  А   (а  b). По тем же причинам точка В принадлежит прямой b: В₁  b₁, B₂  b₂  В   (а  b). Значит прямая m, проходящая через точки А и В, принадлежит плоскости : m   (а  b).

На рис. 26 б, прямая n, проходящая через точки N, В не принадлежит плоскости , поскольку точка N, определяющая эту прямую, не принадлежит прямой а, следовательно и плоскости : N₁  а₁, N₂  а₂  N  а  N   (а  b)  n   (а  b).

На рис. 27 а по условию прямая h принадлежит плоскости : h   (АВС). Для построения недостающей проекции h₁ при известной h₂ необходимо выделить две общие точки 1₂, 2₂ с элементами, задающими плоскость, т.е. со сторонами треугольника А₂В₂ и А₂С₂ (Рис. 27 б). Затем построить линии связи, перпендикулярные оси x₁₂, до пересечения с соответствующими сторонами треугольника, индексировать точки пересечения одноименными индексами 1₁  А₁В₁ и 2₂  А₁С₁. Соединив точки прямой, получим искомую проекцию h₁.

Условие 3. Точка тогда принадлежит плоскости, когда она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

 (u  v) а б

Рисунок 28

На рис. 28 а по условию точка Q принадлежит плоскости : Q   (u  v). Для построения недостающей проекции Q₂ через известную Q₁ необходимо провести некоторую вспомогательную прямую, заведомо принадлежащую , выделить две общие точки 1₁, 2₁ с элементами, задающими плоскость, т.е. с прямыми u₁, v₁ (Рис. 28 б).

Затем построить линии связи, перпендикулярные оси x₁₂ до пересечения с соответствующими прямыми, индексировать точки пересечения одноименными индексами 1₂  u₂ и 2₂  v₂, соединить точки прямой. Точка Q принадлежит прямой (12), поскольку ее одноименные проекции принадлежат одноименным проекциям прямой: Q₁  (1₁2₁), Q₂  (1₂2₂)  Q  (12)  Q   (u  v).

Условие 4. Прямая тогда принадлежит плоскости, когда она проходит через одну точку плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости.

На рис. 29 а в плоскости  задана точка T: T   (L, M, K). Используя вспомогательную прямую (LM), заведомо принадлежащую , построим через точку T прямую t, параллельную : t T, t  (LM)  t   (L, M, K).

 (L, M, K) а б

Рисунок 29