Глава I. Плоскость в пространстве

1.1.Точка пересечения прямой с плоскостью

Пусть плоскость Q задана уравнением общего типа: Ax+By+Cz+D=0, а прямая L в параметрическом виде: x=x₁+mt, y=y₁+nt, z=z₁+pt, тогда чтобы найти точку пересечения прямой L и плоскости Q, нужно найти значение параметра t, при котором точка прямой будет лежать на плоскости. Подставив значение x, y, z, в уравнение плоскости и выразив t, получим

Значение t будет единственным, если прямая и плоскость не параллельны.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Рассмотрим прямую L:  и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0. Прямая L и плоскость α:

а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой  и нормальный вектор  плоскости коллинеарны, т. е.

б) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда векторы  и  перпендикулярны, т. е.

и Am + Bn + Ср = 0.

1.2.Угол между прямой и плоскостью

Угол α между нормальным вектором плоскости  и направляющим вектором прямой  вычисляется по формуле:

Пучок плоскостей

Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую L, называется пучком плоскостей, а прямая L - осью пучка. Пусть ось пучка задана уравнениями

Почленно умножим второе уравнение системы на постоянную и сложим с первым уравнениемНачало формы.

A₁x+B₁y+C₁z+D₁+ λ(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0.

Это уравнение имеет первую степень относительно х, у, z и, следовательно, при любом численном значении λ определяет плоскость. Так как данное уравнение есть следствие двух уравнений, то координаты точки, удовлетворяющие этим уравнениям будут удовлетворять и данному уравнению. Следовательно, при любом численном значении λ данное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую. Полученное уравнение есть уравнение пучка плоскостей.

Пример Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(2, -3, 4) параллельно прямым

Решение. Запишем уравнение связки плоскостей, проходящих через данную точку M₁:

А (х - 2) + В (у + 3) + C(z - 4) = 0.

Так как искомая плоскость должна быть параллельна данным прямым, то ее нормальный вектор должен быть перпендикулярен направляющим векторам  этих прямых. Поэтому в качестве вектора N можно взять векторное произведение векторов  :

Следовательно, А = 4, В = 30, С = - 8. Подставляя найденные значения А, В, С в уравнение связки плоскостей, получим

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 или 2x + 15у - 4z + 57 = 0.

Пример Найти точку пересечения прямой  и плоскости 2х + 3y-2z + 2 = 0.

Решение. Запишем уравнения данной прямой в параметрическом виде:

Подставим эти выражения для х, у, z в уравнение плоскости: 2(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Подставим t = 1 в параметрические уравнения прямой. Получим

Итак, прямая и плоскость пересекаются в точке М(3, 2, 7).

Пример Найти угол φ между прямой   и плоскостью 4x-2y-2z+7=0. Решение. Применяем формулу (3.20). Так как  то

Следовательно,φ = 30°.

Глава II. Прямая в пространстве

Начало формы

Прямая линия в пространстве бесконечна, поэтому задавать ее удобнее отрезком. Из школьного курса Евклидовой геометрии известна аксиома, «через две точки в пространстве можно провести прямую и, притом, только одну». Следовательно, на эпюре прямая может быть задана двумя фронтальными и двумя горизонтальными проекциями точек. Но так как прямая — это прямая (а не кривая), то с полным основанием мы можем соединить эти точки отрезком прямой и получить фронтальную и горизонтальную проекции прямой (рис.13).

 Доказательство от обратного: в плоскостях проекций V и Н заданы две проекции а' b' и ab (рис.14). Проведем через них плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций V и Н (рис.14), линией пересечения плоскостей будет прямая АВ.