Приравнивая числители, получим тождество, из которого следует, что

коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа равны

при x³ справа A₁+M= 0, при x² A₂+N= 2, при x¹ 3A₁ = -1, при x⁰ 3A₂= 1

откуда

Подынтегральная функция примет вид: .

Искомый интеграл запишется в виде суммы трёх интегралов

.

Первые два интеграла – табличные, третий вычисляется разложением на два интеграла, один из которых также табличный, а другой заменой переменной сводится к табличному. Окончательный результат:

Пример 17.

Интеграл вычисляется разложением подынтегральной функции на простые дроби, используя метод неопределенных коэффициентов

Сравнивая числители слева и справа, получим A₁+A₂=0, A₁-A₂=1/a, тогда A₁= 1/2a, A₂= – 1/2a, подставляя в искомый интеграл, получим

*

Итак, интеграл от любой рациональной дроби выражается через элементарные функции. Кроме рациональных дробей в элементарных функциях интегрируются также и ряд других классов функций. Как правило, интегралы от таких функций сводятся подстановкой к интегралу от рациональной дроби, т.е. подстановка рационализирует интеграл от рассматриваемой функции.

5. Интегрирование тригонометрических рациональных выражений.

Интегралы типа в общем случае рационализируются

тригонометрической подстановкой . В новых переменных

____________________________________________

Формула 10 таблицы (стр. 5).

Пример 18.

Пользуясь заменой , вместо исходного, получим следующий интеграл

Частные случаи вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции.

a) Интегралы вида: , где хотя бы одно из чисел n или m нечетные числа, вычисляются заменой переменной путем отделения одного множителя.

Пример 19.

Выделяется множитель , который является дифференциалом , =- . Отсюда подстановка и интеграл сводится к следующему виду:

б) Интегралы вида: где n и m - четные числа вычисляются путем понижения степени вдвое по тригонометрическим формулам

Пример 20.

в) Интегралы , ,

вычисляются также с помощью тригонометрических формул:

,

,

,

которые приводят их к табличным.

Пример21.

, интеграл принимает вид:

8. Интегрирование простейших иррациональных выражений.

Интегрирование линейных иррациональностей.

Интеграл от рациональной функции рационализируется

подстановкой , где n - общий знаменатель всех дробных показателей выражений ax+b, тогда ax+b=uⁿ и dx=n/a∙ u^n-1du

Пример 22.

Положив , получим x+1 = u³, x = u³-1, dx=3u² du, интеграл примет вид:

Возвращаясь к переменной х, имеем

Интегрирование простейшей квадратичной иррациональности

В этом интеграле >0. Представим подынтегральную функцию в следующем виде

тогда интеграл можно разложить на сумму двух интегралов

.

Первый вычисляется подстановкой u = , du = dx

Второй интеграл

следует рассмотреть отдельно, предполагая конечно, что квадратный трехчлен не имеет равных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением. С помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата (см. § 4) этот интеграл, в зависимости от вида квадратного трехчлена, сводится к одному из следующих интегралов:

.

Третий интеграл табличный (формула 7), первые два вычисляются так называемой подстановкой Эйлера. Подстановка Эйлера для первого интеграла приводит к следующей формуле:

*

Пример 23.

Вторая подстановка Эйлера применима к интегралам второго типа, т.е. когда квадратный трехчлен имеет действительные корни и приводит к формуле:

Пример 24.

.

В общем случае, интегрирование выражений вида проводится по методу рационализации подынтегральной функции с помощью подстановок Эйлера.

_____________________________

*Формула 11 таблицы интегралов.

Определенный интеграл

Пусть функция определена и ограничена на отрезке [a, b] и - произвольное разбиение этого отрезка на n элементарных промежутков. Предположим, что на каждом отрезке выбрана точка . Тогда сумма называется интегральной суммой функции на отрезке [a, b], а её предел при , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции в пределах от a до b и обозначается так:

Определенный интеграл не должен зависеть от разбиений и выбора точек .

Если определенный интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке [a; b].

Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то существует первообразная от этой функции на отрезке [a; b].

Свойства определенного интеграла.

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

3. Аддитивность. Если отрезок интегрирования разбит на части без общих внутренних точек, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям:

4. Линейность.

т.е. интеграл от (алгебраической) суммы функций равен сумме интегралов от каждого слагаемого, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

5. Монотонность.

Если для любых то

6. Оценка интеграла.

Если m и M – наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a; b] и

, то

1. Среднее значение функции:

где

Значение функции в точке c, определяемое из последнего равенства:

называется средним значением функции на отрезке [a; b].

Для вычисления определенного интеграла служит формула Ньютона-Лейбница:

где -какая-нибудь первообразная функции на отрезке [a; b].

При вычислении определенных интегралов используются те же методы и та же таблица основных интегралов, что и при нахождении неопределенных интегралов.

Пусть выполняются следующие условия:

1. функция непрерывна на отрезке [a; b];

2. функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке [a; b];

3. ;

4. функция определена и непрерывна на отрезке , тогда справедлива формула замены переменной (или подстановки)

.

Если функции -дифференцируемые на [a; b], то имеет место следующая формула: которая называется формулой интегрирования по частям.

Основные методы интегрирования для определенного интеграла применяются так же, как и для неопределенного. Следует, однако, учесть следующие особенности:

- при замене переменной необходимо изменить пределы интегрирования (тогда не нужно возвращаться к старой переменной, как в неопределенном интеграле), а после нахождения первообразной воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

- при использовании метода интегрирования по частям необходимо ещё воспользоваться формулой Ньютона- Лейбница.

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

1. Если на отрезке [a; b] функция , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , снизу осью 0X, справа и слева прямыми и (рисунок 1), вычисляется по формуле:

(4.1)

2. Если на отрезке [a; b], то площадь фигуры (рисунок 2) вычисляется по формуле:

(4.2)

3. Если функция меняет знак на отрезке [a; b], то площадь фигуры (рисунок 3) вычисляется по формуле:

, (4.3)

где интегралы по отрезкам, на которых функция отрицательна, берутся по абсолютной величине.

4. Если на одном и том же отрезке [a; b] заданы две функции: и , причем для любых то площадь фигуры (рисунок 4) вычисляется по формуле:

(4.4)

5. Если фигура ограничена сверху разными линиями, заданными на разных отрезках (рисунок 5), имеющих один общий конец: при и при , то площадь такой фигуры определяется по формуле:

(4.5)

Задание Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций и

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой надо найти, на координатной плоскости. Графиком функции g(x) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем производную функции . Находим координаты вершины параболы С:

Точки пересечения параболы с осями координат:

С осью ох:

;

;

C осью оу: х=0;

Графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам с координатами

Рисунок 2 к задаче №6

Найдем точки пересечения графиков функций

;

Площадь S фигуры ABC, ограниченной графиками функций, находим по формуле .

Где для всех

Так как при , то

Ответ

6. Объем тела, образованного вращением вокруг оси ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой и прямыми (рисунок 6), равен

(4.6)

0

y

x

b

Рисунок 6

a

y=f(x)

7. Объем тела, образованного вращением вокруг оси oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой и прямыми (рисунок 7), равен

(4.7)

Несобственные интегралы.

Если функция f(x) непрерывна при , то несобственным интегралам называется . Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. В противном случае интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяются интегралы

Если функция f(x) непрерывна при и имеет разрыв II рода в точке c, то несобственным интегралом называется

Так же, как и выше, несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся.

Если же точка разрыва находится в конце промежутка, то:

1. при c=a

2. при c=b

Если при и сходится, то сходится. Такая сходимость называется абсолютной.

Если при и расходится, то расходится.

Если при предел конечен и не равен нулю, то оба интеграла одновременно либо сходятся, либо расходятся.

Аналогичные признаки сходимости можно указать и для несобственных интегралов от разрывных функций.

Вопросы для самопроверки

1. Какая операция называется интегрированием?

2. Связь операции дифференцирования функции с интегрированием.

3. В чём заключается неопределённость интеграла?

4. Основные свойства неопределённого интеграла, вытекающие из его определения.

5. Методы интегрирования.

Задачи

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) ,

11) , 12) , 13) , 14) , 15) ,

16) , 17) , 18) , 19) ,

20) , 21) , 22) , 23) ,

24) , 25) , 26) , 27) , 28) , 29) , 30) .