3) Характеристики вариации

Для измерения и оценки вариации используют абсолютные характеристики (вариационный размах, среднее линейное отклонение, среднеквадратическое отклонение) и относительные характеристики (коэффициенты вариации, неравномерности распределения).

а)абсолютные характеристики вариации:

Вариационный размах характеризует диапазон вариации, это разница между максимальным и минимальным значениями признака.

Середнее линейное отклонение – это середнее из модулей отклонений индивидуальных значений от центра распределения

;

Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от центра распределения

Середнее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии

; .

По первичным, несгруппированным данным эти характеристики вариации рассчитываются по принципу простой средней, то есть:

; .

Середнее квадратическое отклонение и среднее линейное отклонение по смыслу идентичны, но .

Для альтернативного признака, вариация которого имеет два значения „да” и „нет”. дисперсия рассчитывается по формуле, как произведение долей:

б)относительные характеристики вариации:

Сравнивая вариации разных признаков или одного признака в разных совокупностях используют относительные характеристики вариации. Коэфффициенты вариации рассчитываются как отношения абсолютных, именованных характеристик вариации (σ, , R) к центру распределения и часто выражаются процентами, то есть:

Линейный коэффициент вариации

Квадратический коэффициент вариации

Коэффициент осцилляцииї

Чем менье среднее отклонение, тем более типична средняя, тем более однородна совокупность. Квадратический коэффициент вариации используют как критерий однородности совокупности. В симметричном, близком к нормальному, распределении V_s = 0,33.

Если: V < 10% - незначительная вариация, совокупность однородна;

10 % ≤ V ≤ 30% - середнее колебание, совокупность в пределах однородности, значение средней можна считать типичным уровнем признака в данной совокупности;

V > 33% - високий уровень вариации, совокупность неоднородна, значение средней нельзя считать типичным уровнем признака в данной совокупности.

4)Характеристики неравномерности распределения:

Наиболее простой мерой асимметричности распределения является отклонение между характеристиками центра распределения. Так как в симметричном распределении , то чем заметнее асимметрия, тем больше отклонение . Стандартное отклонение называют коэффициентом асимметрии

При правосторонней асимметрии , и Аs>0. При левосторонней асимметрии , a As<0.

5.3. Правило сложения дисперсий

Дисперсия, в отличие от других характеристик вариации, является аддитивной величиной. То есть в структурированной совокупности, которая поделена на группы по факторному признаку, дисперсия результативного признака может быть разложена на: дисперсию в каждой группе (внутригрупповую) и дисперсию между группами (межгруповую). Общая дисперсия характеризует вариацию признака за счет влияния всех причин (факторов), межгрупповая – за счет фактора, положенного в основу группировки, а внутригрупповые - за счет других факторов, не учтенных в группировке.

Межгрупповая дисперсия вычисляется по формуле

,

где: и – соответственно средняя j-й группы и общая средняя варьирующего признака y; – частота j-й группы.

Внутригрупповая дисперсия рассчитывается отдельно для каждой j-й группы:

,

где y – значения признака отдельных элементов совокупности.

Для всех групп в целом вычисляется средняя из внутригрупповых дисперсий, взвешенных на частоты соответствующей группы:

.

Взаимосвязь между тремя дисперсиями называется правилом сложения дисперсий, согласно которому

.

Общую дисперсию можно определить и по формуле

.

Отношение межгрупповой дисперсии к общей называется корелляционным отношением η². η² = δ² / σ² < 1

Приклад. Розрахунок зазначених дисперсій показано за даними табл. 4.5, на прикладі урожайності винограду.

Варіація урожайності окремо для кожного сорту винограду визначається трьома внутрішньогруповими дисперсіями. Для сорту винограду „Аліготе” внутрішньогрупова дисперсія становить

,

де .

Таблиця 4.5

Сорт винограду	Кількість кущів,	Урожайність з одного куща, кг
Аліготе	5	2,3; 2,2; 2,7; 2,6; 2,2	12	2,4
Фетяска	8	2,9; 3,3; 2,7; 2,8; 3,2; 3,4; 2,8; 2,9	24	3,0
Рислінг	7	3,6; 4,0; 4,1; 4,4; 3,8; 3,9; 4,2	28	4,0
В цілому	20	Х	64	3,2

Аналогічно обчислено внутрішньогрупові дисперсії для другої та третьої груп: .

Середня з групових дисперсій дорівнює

,

Міжгрупова дисперсія становить

, де .

Загальну дисперсію урожайності визначимо за правилом складання дисперсій як суму міжгрупової та середньої з групових дисперсій:

.

Безпосереднє обчислення загальної дисперсії за спрощеною формулою

дає такий самий результат.