20. Средняя квадратическая и средняя кубическая

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

где x1,x2,…xn- значения признака, n- их число.

Средняя квадратическая взвешенная:

где f-веса.

21. Розрахунок структурних середніх

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.

Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

,

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.

Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантов, т.к. она делит совокупность на две равные части.

В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

, где

x₀ - нижняя граница медианного интервала;

i_Me - величина медианного интервала;

S_me-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

f_Me - частота медианного интервала.

22. Мода – это варианта, имеющая наибольшую частоту, то есть значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности. В дискретном ряду (определяется визуально). Если моды две – то это бимодальный вариационный ряд

36,37,37,38,37,38,39,40 М_о=37

В интервальном ряду распределения сначала определяется модальный интервал, а уже в пределах этого интервала – точное значение моды.

где:

Mo— значение моды

Xo — нижняя граница модального интервала

h— величина интервала

fm — частота модального интервала

fm-1 — частота интервала, предшествующего модальному

fm+1 — частота интервала, следующего за модальным

(где х_о – нижня граница модального интервала; h_Mo – ширина модального интервала;

частота модального, предмодального и послемодального

интервалов соответственно)

23. Медиана – значение признака, являющееся серединой вариационного ряда, то есть делящее его на две равные части.

36,37,37,37|38,38,39,40

В интервальном ряду распределения сначала определяется медианный интервал, а уже в пределах этого интервала – точное значение медианы:

Me — искомая медиана

Xo — нижняя граница интервала, который содержит медиану

h — величина интервала

∑fi — сумма частот или число членов ряда

Sm-1 - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

fm — частота медианного интервала

де х_о – нижня граница медианного интервала;

h_Mo – ширина медианного интервала; – частота медианного интервала;

– кумулятивная частота предмедианного интервала)

В одномодальных симметричных рядах распределения

_24. Ряд распределения характеризует состав, структуру совокупности по определенному признаку. Элементами ряда распределения являются варианты – значения признака x_j и частоты f_j. В зависимости от статистической природы вариант ряды делятся на атрибутивные и вариационные. В соотношении вариант и частот проявляется закономерность распределения.

Построение рядов распределения выплывает из принципов статистического группирования. Известно, что ряды распределения можно образовать или по атрибутивным, или по количественным (вариационным) признакам.

При построении атрибутивных рядов распределения варианты нужно расположить в логической последовательности. В случае использования дискретных и интервальных вариационных рядов варианты записывают по возрастанию или убыванию. Для интервальных рядов важно четко разграничивать варианты.

Различают ряды распределения с абсолютными, относительными и накопленными частотами. Накопленные частоты называют кумулятивными. В первом случае частоты являются абсолютными числами, во втором — удельным весом или частью каждой группы. Ряды распределения с абсолютными частотами характеризуют состав совокупности, а с относительными — их структуру. Ряды распределения с накопленными (кумулятивными) частотами указывают на количество или удельный вес единиц со значением признака, меньшим от заданного. Кумулятивные частоты находятся суммированием их по группам.

_25. ) Частотные характеристики – это абсолютная численность і-й группы, то есть частота f_i, и относительная частота, то есть доля d_i

Если интервалы вариационного ряда неравные, то рассматривают плотность частоты

g_i=f_i/h_i и плотность доли g_i=d_i/h_i Плотность распределения — это количество единиц совокупности, приходящееся на единицу величины интервала группировального признака.

Дополнительной характеристикой вариационных рядов является кумулятивная частота S_f (доля S_d ), характеризующая объем совокупности со значением варианты, которые не превышают x_j. Кумулятивные частотные характеристики образуются последовательным суммированием абсолютных или относительных частот. Так, , , и т.д.

26) К характеристикам центра распределения относят среднюю, моду и медиану.

Середняя величина характеризует типичный уровень признака в совокупности. По данным ряда распределения средняя рассчитывается как арифметическая взвешенная:

на основе частот на основе долей

; ,

где m – число груп.

Мода – это варианта, имеющая наибольшую частоту, то есть значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности. В дискретном ряду (определяется визуально). Если моды две – то это бимодальный вариационный ряд

36,37,37,38,37,38,39,40 М_о=37

В интервальном ряду распределения сначала определяется модальный интервал, а уже в пределах этого интервала – точное значение моды.

(где х_о – нижня граница модального интервала; h_Mo – ширина модального интервала;

частота модального, предмодального и послемодального

интервалов соответственно)

Медиана – значение признака, являющееся серединой вариационного ряда, то есть делящее его на две равные части.

36,37,37,37|38,38,39,40

В интервальном ряду распределения сначала определяется медианный интервал, а уже в пределах этого интервала – точное значение медианы:

де х_о – нижня граница медианного интервала;

h_Mo – ширина медианного интервала; – частота медианного интервала;

– кумулятивная частота предмедианного интервала)

В одномодальных симметричных рядах распределения