3 Теорема о предельном значении оригинала и методика определения установившихся ошибок

Сформулируем для этого теорему о предельном значении оригинала:

limX(t)=limX(s),

t→ ∞ s→ 0

т.е. предел оригинала при t→∞ равен пределу изображения по Лапласу при s→0.

Передаточная функция САУ по ошибке:

Итак, чтобы определить установившуюся (при t→ ∞) ошибку САУ нужно:

- Найти x(s) зная x(t)

- Определить Fε(s)

- Найти ε(s)= X(s) * Fε (s)

- Определить εуст= lim ε(s)

S→0

4 Ошибки статических и астатических сау в типовых режимах

Рассмотрим ошибки САУ в типовых режимах:

1. Ошибка САУ в покое (статическая ошибка)

X(t)=X0=const X(s)=X0

Пусть - статическая

САУ, поскольку в знаменателе нет множителя S, т.е. интегрирующего элемента в системе

По теореме о предельном значении аргумента

(1)

Подставляя Wp(s) в (1) получим:

Пусть теперь

- астатическая САУ (есть

интегратор, т.е. множитель S в знаменателе передаточной функции)

2. Второй типовой режим - движение с постоянной скоростью (скоростная ошибка)

x(t)=at a=cost

П усть:

- статическая САУ

Тогда:

Ошибка в статической САУ при линейно-нарастающем входном сигнале x(t)=at возрастает до ∞.

Т.о. статические САУ в таком режиме не работоспособны.

Пусть теперь

- астатическая САУ

Тогда

Т.о. в астатических САУ при x(t)=at a=const

устанавливается ошибка в “К” раз меньше чем “a”, т.е. они работоспособны в таких режимах.

3. Третий режим - гармонических входных сигналов.

Пусть x(t)=xmsinωkt

xm,ωk – амплитуда и частота “качки”.

Определим амплитуду εm ошибки САУ в этом режиме.

Д ля этого найдем:

- ПФ САУ по ошибке

Подставим S=jωk

(1)

Выражение (1) справедливо и для амплитуд, т.е.

О ткуда следует:

(2)

Прологарифмируем (2):

(3)

Ак – контрольная точка

И з (3) следует, что САУ будет иметь амплитуду ошибки не более допустимой ε_доп, если

Т.о. чтобы ошибка САУ в гармоническом режиме не превышала допустимой εдоп необходимо:

1. Определить положение контрольной точки Ак с координатами:

ω=ωк и

2. Обеспечить прохождение L(ω) выше контрольной точки Ак

5 Ошибки сау при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок)

Пусть на вход САУ действует сигнал x(t) произвольной формы. Чтобы определить ошибку ε(t) в этом случае найдем вначале ее изображение.

Поскольку: (1)

То: (2)

Разложим далее Fε(s) по возрастающим степеням S в ряд, тогда (2) можно записать в виде:

При нулевых начальных условиях

и переходя в (3) к оригиналам можно записать

(4)

Величины С0, С1, С2 … называются коэффициентами ошибок САУ.

Чтобы определить ошибку САУ при произвольной форме входного сигнала x(t) необходимо:

1. Определить передаточную функцию САУ по ошибке Fε(s);

2. Разложить в ряд Fε(s) путем деления ее числителя на знаменатель и найти коэффициенты С0, С1, С2 …;

3. Подставить коэффициенты ошибок в (4) и найти установившуюся ошибку ε(t).

Пример

Н айти ошибку в САУ при:

Если:

Решение:

1 .Найдем

2. Разложим (1) в степенной ряд путем деления числителя на знаменатель

Ограничимся первыми тремя членами ряда, т.к. входной сигнал X(t) имеет лишь три не нулевых первых производных.

3 . Итак: (5)

Сопоставляя (5) и (4) имеем коэффициенты ошибок:

С 0=0 (6)

4. Определим далее производные от X(t):

(7)

5. Подставляя коэффициенты С0, С1, С2… и производные (7) в (4) получим:

Т.е. ошибка с течением времени будет нарастать до ∞ из-за члена “bt”.