Матиматичні моделі та вимоги до них

До математичних моделей висувають вимоги:

• Універсальності

• Адекватності

• Точності

• Економічності

Степінь універсальності характеризує повноту відображення моделі , властивостей реального об’єкта як правило математична модель починає відображати лише деякі найбільш важливі властивості об’єкта.

Математична модель резистора використовує властивість пропускати електричний струм та габаритні розміри,а кольорове зображення –форму резистора з різними радіусами заокруглень.

Точність математичної моделі оцінюється степіню спів падання значень параметрів реального об’єкта і тих же самих значень математичної моделі,якшо вихідні параметри-Y,для реального об’єкту-

Математичної моделі- та для вираження точності або спів падання:

(6,1)

–відносна похибка точності математичної моделі, чим менша ця похибка тим краще.

Адекватність математичної моделі-здатність відображати задані властивості об’єкта з похибкою невище заданої.

Вимоги економічності-характеризуються витратами обчислюваних ресурсів(машинна пам'ять та час),чи вимога протилежна до перших трьох,чим більша економічність тим менші попередні частини)

Класифікація математичної моделі

Ознака класифікації	ММ
Характер властивостей об’єкта , що відображається	Функціональні та структурні
Належність до ієрархічного рівня	Макрорівня , макрорівня та мета рівня
Ступінь деталізації опису в середині рівня	Повні та макромоделі
Спосіб представлення властивостей об’єкта	Аналітичні,алгоритмічні,імітаційні
Спосіб отримання моделі	Теоретичні ,емпіричні

За характером властивостей об’єкта –структурні, функціональні

Структурні для відображення структурних властивостей об’єкта(статичні об’єкти) поділяються на:топологічні(як зв’язані певні об’єкти),геометричні(описи вузлів детелей, приладів і способи зєднання:розємні, нерозємні.)

В топологічних ММ відображаються склад властивостей об’єкта і взаємозвязкит елементів об’єкта ,вони можуть мати форму графів таблиць, переліків і тд,в геометричних ММ використовуються геометричні властивості об’єкта, взаємне розташування в просторі форма та способи взаємозв’язку .

Функціональні ММ-призначені для відображення фізичних або інформаційних процесів які протікають в об’єкті при його функціонуванні або виготовленні. Як правило функціональні ММ являють собою системи рівнянь які повязують фазові змінні ,внутрішні , зовнішні і вихідні параметри.За змінами в залежності від місця ієрархії ММ:мікро, макро, мета рівні

Макрорівень-використовується ММ які описують стани суцільних середовищ, які складають елементи і деталі проектованих об’єктів, такими ММ є рівняння математичної фізики з відповідними крайовими умовами, дифрівняння частини похідних-ДРЧП.Прикладом ДРЧП можуть бути рівняння теплопровідності ,дифузії,пружності , в яких незалежними змінними є час t та просторові координати х1,х2,х3, а залежними Т-температура , концентрація частинок , деформація.

)

V-вектор функціональних змінних

-функція зовнішніх змінних

-оператор

макрорівень перехід здійснюється шляхом виділення в модульованому об’єкті кінцевого числа частинок(елементів), таке використання можна представити як дискуритизацію простору(розбити на частини),полягає у виключенні просторових координат у змінні,метод кінцевих елементів(складний об’єкт поділяється на частинки, будує епюри по кольорах які відповідають за напруження в кожному елементі)

При дескритизації виключаються просторові координати, замість полів фазових змінних v(z), зявляється кінцеве число фазових змінних

Кожна з яких відноситься до визначеного елемента дискритизованого простору, наприклад досліджуються електричні властивості деякого НП тіла можна в ньому виділити кінцеве число елементарних частинок і кожну

представляють опором Ri, та ємністю Сі

-ДРЧП макрорівень або

t)=0-МАКРОРІВЕНЬ ЗДР .При переході до представленого макрорівня диф рівняння частинами похідні перетворюються в ЗДР.

На мета рівні в якості елементів приймають достатньо складні ємності деталей . характеризується великою кількістю типів ММ на мета рівні так само представляються системами ЗДР.ЗА степеню деталізації опису :повні ММ, та макромоделі.

ММ елемента яка найбільш точно і всебічно відображає властивості модельованого об’єкта називається –повною моделлю, а ММ менш універсальна і проте більш економічна-макромодель.

МЕТОДИКА ОДЕРЖАННЯ ММЕ ТА ММС

В Загальному випадку процес одержання ММЕ включає:

• Вибір властивостей об’єкта, які підлягають у відображенні об’єкта , тобто визначає степінь універсальності.

• Збір інфо про обрані властивості об’єкта-закономірності функціонування,довідникові дані, необхідні експериментальні дослідження і тд

• Створення структури моделі мат виразів, рівнянь які описують в загальному випадку відношення між фазовими змінними і параметрами об’єкта (тобто рівняння мат фізики)

• Оцінка точності та розрахунок числових значень параметрів(мінімізація похибки заданої структури)

(x)- точніст ММ

• Оцінка адекватності ММ полягає в тому шо ми оцінюємо точність ММ при певних значеннях зовнішніх змінних( а також вхідних значень).Для того щоб отримати ці відомості (вхідні дані при яких модель працює нормально необхідно побудувати область адекватності в просторі зовнішніх параметівQп в межах яких похибка неперевищує заданого значення ,як правило ця область з нелінійними границями і потребує складних обчислень.В межах вхідних параметрів ММ видасть результат з потрібною точністю.для зменшення обчислень використовують апроксимовану область адекватності вписаний гіпер-паралепіпед у задану область)

При одержанні ММ систем слід використовувати бібліотеку з ММ систем та мати дані про структуру самої системи , яка задається у вигляді схеми або переліку елементів та їх взаємозв’язків, якщо для деяких типів елементів відсутні ММ то для них використовують розробку і опис на вхідній мові з можливостями занесення в бібліотеку елементів.При розробці мат моделей слід пам’ятати про однакову мову представлення внутрішніх представлень даних(проміжкові мову) .Далі вудбувається перетворення цих вихідних даних в систему рівнянь , з системи рівнянь в алгоритмічну мову і далі в робочу програму для розвинутих САПР відбувається автоматично.

ПЕРЕТВОРЕННЯ ММ В ПРОЦЕСІ ОДЕРЖАНЯЯ РОБОЧИХ ПРОГРАМ АНАЛІЗУ.

Кінцевий етап перетворень робоча програма у вигляді послідовності елементарних подій арифметичних або логічних операцій які реалізуються командами ЕОМ.Процес перетворення ММ які відносяться до різних ієрархічних рівнів ілюструє:

Вгілці 1 відповідає постановка задачі яка відноситься до макрорівня як

Кураєвої ,частіше всього у вигляді ДРЧП,чисельні методи якого засновані на дескритизації змінних та алгебраїзації задач.

Дискритизація-полягає у заміні неперервних змінних, кінцевою множиною іх значень заданих для дослідження в просторовому і часовому інтервалах.

Алгебраізація-полягає у заміні похідних алгебраичними співвідношеннями.

При розвитку ДРЧП використовують різні способи алгебраїзації і дескритизації змінних, ці способи складають сутність методів числового розвязку.Більшість із них:кінцеві різниці,-кінцеві елементи.

Якшо ДРЧП стаціонарне (описує статичні стани , то дискретизація і алгебраїзація перетворює ДРЧП в систему АЛГЕБРАЇЧНИХ рівнянь в загальному випадку як правило нелінійних-2

Z=(x1,x2,x3,t)-стаціонарне.

Якшо ДРЧП нестаціонарне описує змінні в часі поля змінних то алгебраізацію і дискретизацію представляють у 2 етапи:

• Усуваються похідні по просторовим координатам

Z=(x1,x2,x3,t)-ЗДР- 3

• Усунення похідних по часу-АР-4

Для чисельного розвязку ЗДР при початкових умовах (задача Коші) розроблено велику кількість чисельних методів,методи чисельного інтегрування.

Розвязок системи АР може бути або безпосереднім-5, за допомогою простих інтеграцій Зейделя,Якобі. Або через попередню лінеаризацію-6, що складає сутність методів Нютона,розвязок системи лінійних алгебраичних рівнянь-ЛАР-7,ВИКОНУЄТЬСЯ за допомогою прямих методів :Методи Крамера,Гауса.

Гілці 8 відповідає перетворення початкового опису яка використовується до макрорівня , в систему ЗДР із відомими початковими умовами.Якшо ЗДР –нелінійна , то подальші перетворення відбуваються за охарактеризованими вище:4-5;4-6-7;

Якщо ж ЗДР лінійна то доцільний безпосередній перехід в систему ЛАР-9

До аналізу об’єктів на мета рівні:

• Перехід до системи ЗДР-10

• Перехід до системи спеціальних моделей :логічні,аналітичні ітд.

Які спрощено відображають техніко економічні показники об’єкта-11

12- зведення цих форм моделей до послідовності елементарних операцій не викликає ніяких труднощів.Сказане вказує важливе значення яке відводиться в математичному забезпеченні САПР чисельними методом розвязку.Системи ЗДР нелінійних та лінійних АР.Від ефективності цих методів залежить загальна активність виконання проектних процедур функціонального проектування.