Пример линейного блочного кода (6,3)

Приведем необходимые предварительные замечания относительно кода (6,3). Он состоит из 2^k = 2³ = 8 векторов сообщений и, следовательно, восьми кодовых слов. В векторном пространстве V6 имеется 2ⁿ (2⁶ = шестьдесят четыре) 6-кортежей.

Нетрудно убедиться, что восемь кодовых слов, показанных в табл. 6.1, образуют в V6 подпространство (есть нулевой вектор, сумма любых двух кодовых слов дает кодовое слово этого же подпространства). Таким образом, эти кодовые слова представляют линейный блочный код, определенный в разделе 6.4.2. Может возникнуть естественный вопрос о соответствии кодовых слов и сообщений для этого кода (6, 3). Однозначного соответствия для отдельных кодов (n, k) не существует; хотя, впрочем, здесь нет полной свободы выбора.

Таблица 6.1. Соответствие кодовых слов и сообщений

Матрица генератора

При больших k реализация таблицы соответствия кодера становится слишком громоздкой. Для кода (127,92) существует 2⁹² или приблизительно 5 х 10²⁷ кодовых векторов. Если кодирование выполняется с помощью простой таблицы соответствия, то представьте, какое количество памяти нужно для такого огромного числа кодовых слов! К счастью, задачу можно значительно упростить, по мере необходимости генерируя необходимые кодовые слова, вместо того чтобы хранить их в памяти постоянно. Поскольку множество кодовых слов, составляющих линейный блочный код, является k-мерным подпространством n-мерного двоичного векторного пространства (k < n), всегда можно найти такое множество n-кортежей (с числом элементов, меньшим 2^k), которое может генерировать все 2^k кодовых слова подпространства. О генерирующем множестве векторов говорят, что оно охватывает подпространство. Наименьшее линейно независимое множество, охватывающее подпространство, называется базисом подпространства, а число векторов в этом базисном множестве является размерностью подпространства. Любое базисное множество k линейно независимых n-кортежей можно использовать для генерации нужных векторов линейного блочного кода, поскольку каждый вектор кода является линейной комбинацией . Иными словами, каждое из множества 2^k кодовых слов {U} можно представить следующим образом.

Здесь = (0 или 1) — цифры сообщения, a i = 1,..., k.

Вообще, матрицу генератора можно определить как массив размером k x n.

                                    (6.24)

Кодовые векторы принято представлять векторами-строками. Таким образом, сообщение m (последовательность k бит сообщения) представляется как вектор-строка (матрица 1 x k, в которой 1 строка и k столбцов).

В матричной записи генерация кодового слова U будет выглядеть как произведение m и G

U = mG,                                                    (6.25)

где умножение матриц С = АВ выполняется по следующему правилу.

Здесь А — матрица размером l х п, В — матрица размером n х т, а результирующая матрица С имеет размер l х т. Для примера, рассмотренного в предыдущем разделе, матрица генератора имеет следующий вид.

                                    (6.26)

Здесь . — три линейно независимых вектора (подмножество восьми кодовых векторов), которые могут сгенерировать все кодовые векторы. Отметим, что сумма любых двух генерирующих векторов в результате не дает ни одного генерирующего вектора (противоположность свойству замкнутости). Покажем, как с использованием матрицы генератора, приведенной в выражении (6.26), генерируется кодовое слово U4 для четвертого вектора сообщения 110 в табл. 6.1.

Таким образом, кодовый вектор, соответствующий вектору сообщения, является линейной комбинацией строк матрицы G. Поскольку код полностью определяется матрицей G, кодеру нужно помнить лишь k строк матрицы G, а не все 2^k кодовых вектора. Из приведенного примера можно видеть, что матрица генератора размерностью 3 x 6, приведенная в уравнении (6.26), полностью заменяет исходный массив кодовых слов размерностью 8 x 6, приведенный в табл. 6.1, что значительно упрощает систему.