5.2. Общее уравнение многоэтажной системы

Уравнение равновесия поперечных сил в горизонтальном сечении системы

(17)

Значение N находят из уравнения равновесия моментов в том же горизонтальном сечении

(18)

где. М₀ — момент внешней нагрузки в уровне x; М=-Ву'" — суммарный изгибающий момент стоек рамы.

После подстановки в (17) значения N находят

а после дифференцирования по х получают

(19)

Уравнение многоэтажной системы в перемещениях (19) является общим; на его основе решаются системы рамные, рамно-связевые, а также связевые с диафрагмами, имеющими проемы.

Если в уравнение (19) подставить значение By"=—М, получится моментное дифференциальное уравнение второго порядка, если же учесть, что Ву"=—М =—(M₀ — bN) и что М"₀ =—р(х), получится уравнение второго порядка относительно продольных сил* (* уравнение составного стержня, полученное А.Р.Ржаницыным):

N" —K(l/B+ 1/B₀) N+KMo/bB = 0. (20)

Вводя для увеличенного в В раз перемещения у обозначение w=By из (19) получают

(21)

В этом уравнении линейная характеристика

; (22)

(23)

Решение уравнения (21) имеет вид

(24)

где С_i — постоянные интегрирования, зависящие от краевых усло­вий; С₀ частное решение, зависящее от вида нагрузки; — безразмерная координата.

Характеристика жесткости при х=Н

(25)

5.3. Перемещения многоэтажной рамы

Для обычных рамных конструкций с относительно малым влиянием изгибной жесткости стоек В первым членом уравнения (19) пренебрегают, тогда

Ку" + КМ₀/В₀ - р (х) = 0; (27)

здесь , поскольку принято, что В=О.

После двукратного интегрирования уравнения (26), определения постоянных интегрирования с учетом краевых условий y(0)=0 и при равномерно распределенной нагрузке р=р(х) и значении момента внешней нагрузки М₀=—0,5р(Н — х)² получают уравнение перемещений многоэтажной рамы

(27)

где — безразмерная координата.

При прогиб верхнего яруса рамы

(28)

где - характеристика жесткости рамы при учете влияния про­дольных сил стоек;

(29)

Как показали исследования, если , влиянием деформаций стоек от продольных сил можно пренебречь. Для определения изгибной жесткости В₀ обозначают: А₁, А₂ — суммарные площади сечений левых и правых крайних стоек этажа; z₀ — расстояние от оси левых стоек до центра тяжести горизонтального сечения (см. рис. 28). Тогда

(30)

момент инерции горизонтального сечения

(31)

изгибная жесткость рамы

(32)

изгибная жесткость при А₁=А₂=A симметричной рамы

(33)

Следовательно, жесткость B₀ зависит от осевой жесткости стоек Е_ьА.