1.1.Условия задачи
В хозяйстве производится молоко, а также зерно для продажи и на корм скоту. На продажу используется 60% зерна, на ферме может содержаться не более 110 – N голов КРС. Общая площадь пашни в севообороте, выделенная для посева зерновых, 1500 – N га. Запас кормов на пастбищах и сенокосах 2000 ц корм. ед., трудовые ресурсы хозяйства 12000 + 10·N чел.- ч. Норма трудозатрат при производстве зерна 5 чел.- ч на 1 га, при производстве молока – 50 чел.- ч на 1 голову. Урожайность пшеницы 14 ц/га (25 ц корм. ед. с га), норма кормления коров 80 ц корм. ед. на 1 голову, их продуктивность 4000 – 10·N кг. Плановое задание по молоку составляет 400 – 10·N ц. Доход хозяйства определяется продажей молока и товарного зерна. Цена реализации 1 ц зерна составляет 400 руб., 1 кг молока – 10 руб. Необходимо определить сочетание двух товарных отраслей, обеспечивающее максимум продукции в стоимостном выражении.
N – номер варианта (порядковый номер студента по списку). Пример решения данной задачи рассматривается для нулевого варианта (N=0).
1.2. Составление экономико-математической модели
Все модели линейного программирования имеют стандартные составные части, к которым относятся:
- совокупность основных переменных;
- система линейных ограничений, включая условие неотрицательности переменных, определяющая область допустимых значений основных переменных;
- целевая функция, определяющая критерий оптимальности задачи.
Основные переменные:
х1 – площадь пашни под зерновыми культурами, га;
х2 – поголовье КРС.
Система ограничений:
х1
≤ 1500 - по
площади пашни
5х1 + 50х2 ≤ 12000 - по трудовым ресурсам
-10х1 + 80х2 ≤ 2000 - по кормам
х2 ≤ 110 - по поголовью КРС
40х2 ≥ 400, х2 ≥10 - по плану производства молока
Условие неотрицательности основных переменных: х1 ≥ 0; х2 ≥ 0.
Целевая функция: Z = (14∙400)∙0,6х1 + 4000∙10х2 → max
Z = 3360х1 + 40000х2 → max
1.3. Построение графика и установление области допустимых значений
Чтобы построить график необходимо вычислить координаты точек пересечения граничных прямых с осмии координат. Для этого каждое из неравенств, выражающих условия задачи, заменяется на уравнение. В геометрическом смысле полуплоскость заменяется на прямую линию, математически выраженную в виде уравнения.
х
1
= 1500
5х1 + 50х2 = 12000
- 10х1 + 80х2 = 2000
х2 = 110
х2 = 10
Целевая функция тоже выражается в виде уравнения, для этого она приравнивается к произвольному круглому числу с таким расчетом, чтобы получить координаты точек пресечения ее прямой с осями координат в пределах графика.
Z = 3360х1 + 40000х2 = 400000
Для определения направления оптимизации, необходимо вычислить координаты точек пересечения второй прямой функции цели с осями координат. Для этого первоначальное значение удваивают.
Z = 3360х1 + 40000х2 = 800000
Для удобства вычислений данные заносят в таблицу 1.1.
Таблица 1.1
Координаты пересечения граничных прямых и
прямых функции цели с осями координат х1 и х2
Номера уравнений |
Пересечение с осями |
|||
х1 (при х2 = 0) |
х2 (при х1 = 0) |
|||
Граничные прямые |
||||
1 |
1500 |
- |
||
2 |
2400 |
240 |
||
3 |
- 200 |
25 |
||
4 |
- |
110 |
||
5 |
- |
10 |
||
Функция цели |
||||
Z1 = 400000 |
119 |
10 |
||
Z2 = 800000 |
238 |
20 |
||
Для построения графика необходимо выбрать масштаб графика с учетом отображения не нём максимальных значений х1 и х2. После построения на графике прямых относительно каждой из них устанавливается местоположение полуплоскости, содержащей допустимые решения для соответствующего ей неравенства.
В каждое неравенство подставляются вместо неизвестных х1 и х2 значения начала координат. Если при этом смысл неравенства сохраняется, то ОДР расположена в той полуплоскости, которая находится от прямой со стороны начала координат. Если смысл не сохраняется, то ОДР находится в противоположной от начала координат стороне прямой (см. рисунок 1).
Рисунок 1. Графический метод решения задач линейного
программирования