Лекция 8. Определенный интеграл. Вычисления определенных интегралов

3.1. Интегральные суммы. Определенный интеграл

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок точками на части. В каждом из отрезков длины выберем некоторую точку и составим сумму:

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек , тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом, .

Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Задача о нахождении называется интегрированием функции на отрезке .

Отметим, что неопределенный и определенный интеграл – различные понятия, так как неопределенный интеграл представляет семейство функций, а определенный есть число.

3.2. Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл обладает свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

3.3. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция непрерывна на отрезке и какая-либо ее первообразная на , то тогда имеет место формула Ньютона-Лейбница:

.

По этой формуле вычисляют значения определенного интеграла в два этапа: на первом этапе находят первообразную для функции ; на втором применяется фактически эта формула – находится приращение первообразной .

Пример. Вычислить определенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

б) .

в) 64+128+20-4+16+10=234.

3.4. Интегрирование заменой и по частям

в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле выполняется по формуле:

,

где , , ; – новая переменная; и – новые пределы интегрирования.

Пример. Вычислить .

Решение.

.

Интегрирование по частям в определенном интеграле осуществляется по формуле:

.

Пример. Вычислить .

Решение.

3.5 Нахождение площадей плоских фигур с помощью

определенного интеграла

Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, то есть фигуры, ограниченной графиком функции , двумя прямыми , и осью .

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла .

Если , то площадь фигуры, ограниченной графиком этой функции, двумя прямыми , и осью , находится по формуле .

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху и снизу соответственно линиями , , слева и справа – прямыми и , определяется формулой:

.

Например, вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и . Для построения фигуры найдем точки пересечения этих линий, решим систему:

, .

Откуда , и , . Выполним чертеж фигуры.

Находим искомую площадь :

(кв. ед. изм.).

Если плоская фигура имеет сложную форму, то ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить уже известные формулы.

С помощью определенного интеграла можно найти длину дуги для кривой с ограничениями по формуле .