4.2.5. Формула повної ймовірності. Формула Байеса
Нехай
дана повна
група подій, тобто система єдино можливих
і несумісних
подій
ймовірності
яких відомі. Нехай, крім
того, відомо, що подія Е може настати
тільки спільно з однією
з
подій
,
тобто
,
Причому
відомі імовірності
.
Потрібно знайти
імовірність
появи події
,
тобто
.
За теоремою додавання імовірностей неспільних подій з попередньої рівності отримуємо
(10)
Ця формула називається формулою повної ймовірності.
Нехай
тепер необхідно знайти ймовірності
подій
в припущенні, що проведено експеримент,
в результаті якого появилась подія
.
Так як наперед невідомо, яка з подій
наступить, їх називають гіпотезами.
Ймовірності таких гіпотез, як умовні
ймовірності, шукаємо за формулою
.
Замінимо тут
за формулою (10), отримаємо
.
Ця формула називається формулою Байеса, або формулою гіпотез, оскільки визначає ймовірність гіпотези, яка полягає в тому, що подія відбулася саме сумісно з подією .
Приклад. Однакові деталі виготовляються на 3-х верстатах. Перший верстат виробляє 50% всіх деталей, другий - 30% і третій - 20%. При цьому ймовірність браку на першому верстаті дорівнює 0,025, на другому 0,02, на третьому - 0,015. Знайти ймовірність того, що навмання взята з комори деталь виявиться доброякісною.
Розв'язання.
Визначимо
через,
,
і
події, які полягають в тому, що деталь
виготовлена відповідно на 1-ому, 2-ому і
3-ому верстатах.
Тоді
Подія,
яка полягає в тому, що деталь виявиться
доброякісною, визначимо буквою
.
Тоді
По формулі повної ймовірності знаходимо
4.2.6. Повторення незалежних випробувань. Формула Бернуллі. Теорема Пуассона. Локальна і інтегральна теореми Лапласа
Ряд випробувань будемо називати незалежними по відношенню до події , якщо ймовірність появи події в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань.
Приклади незалежних випробувань: 1) кидання монети або грального кубика; 2) стрільба по цілі без коректування в одних і тих же умовах; 3) багаторазове витягання з урни кулі за умовою, що вийнята куля після реєстрації її кольору повертається зворотно в урну і кулі після цього перемішуються.
Приклад.
Нехай проводиться n незалежних випробувань, внаслідок кожного з яких подія може статися з ймовірністю . За цими припущеннями розглянемо наступні ймовірності.
1. Знайти ймовірність того, що подія наступить у всіх випробуваннях.
Розв'язання. Оскільки випробування незалежні, то за теоремою про добуток ймовірностей отримаємо
.
2.
Знайти
ймовірність
того, що подія
станеться
в перших
випробуваннях і не станеться
у
випробуваннях,
що залишилися.
Розв'язання.
3.
Знайти
ймовірність
здійснення події
разів в будь-якому порядку у
випробуваннях.
Розв'язання.
На
відміну від попередньої задачі тут
номерів
випробувань, в яких реалізовується
подія
можуть бути довільними. Число комбінацій
з
елементів по
дорівнює числу сполучень
.
Тому шукана ймовірність
дорівнює
,
(12)
де
.
Формула (12) називається формулою Бернуллі.
Для
так званих рідкісних
подій
(зі значеннями
близькими до нуля) користуються
асимптотичною
формулою Пуассона:
,
(13)
де
і наближення тим
краще, чим більше
і менше
.
Для
двозначного числа
(тобто, коли n
є
великим числом) повторних випробувань
обчислення
ймовірності
за формулою Бернуллі викликає
обчислювальні труднощі так, як при
цьому громіздко обчислюється
.
Тому в таких випадках застосовується
наступна
наближена формула
,
(14)
що
виражає зміст
локальної
теореми Лапласа,
де
.
Приклад. Ймовірність влучення у ціль при одному пострілі рівна 0,7. Яка ймовірність того, що з 20 пострілів 15 виявляться влучними?
За
формулою (12) знаходимо
.
За
формулою (14)
Інтегральна
теорема Лапласа.
Нехай знову
проводиться
n
незалежних
випробувань, внаслідок кожного з
яких подія
може статися
з ймовірністю
(0<р<1).
При
цих припущеннях
знайдемо
ймовірність
того, що подія А з'явиться
в n випробуваннях не менш
і не більш
разів приблизно дорівнює визначеному
інтегралу
(15)
де
і
.
Функція
- отримала
назву функції
Лапласа
Ця
функція є непарною. Для функції
складені таблиці її значень.