8.4.3 Линия с кратковременным занятием

При таком виде неисправности линия в процессе искания «ведет себя» как исправная, но из-за обрыва линии или по другой причине не может служить для установления разговорного тракта. При подключении к такой линии аппа­рата абонента возникает кратковременное (неэффективное) занятие, после ко­торого происходит разъединение. Проанализируем, как наличие одной такой не­исправной линии с кратким занятием влияет на пропускную способность полнодоступного пучка в зависимости от расположения неисправной линии в пучке и размера пучка. Рассмотрим три способа искания линий: упорядоченный одно­сторонний, упорядоченный двусторонний и случайный. Введем следующие обозначения:

v — число линий в пучке; линии имеют номера 1, 2, ..., v и при односто­роннем искании просматриваются в порядке номеров, а при двустороннем — для вызовов в прямом направлении — в том же порядке и для вызовов в обратном направлении — в обратном;

k — номер неисправной линии с кратким занятием (рис. 4.39);

λ — интенсивность пуассоновского потока вызовов;

μ — интенсивность обслуживания на исправной линии;

μ’ — интенсивность обслуживания на неисправной линии;

r = μ’/μ;

А=λ/μ — интенсивность нагрузки (для двустороннего поиска А=А₁+А₂, A₁=λ₁/μ в прямом и A₂=λ₂/μ в обратном направлении);

Р — доля сброшенных вызовов (из-за обслуживания неисправной линией);

В — вероятность блокировки (вероятность, что все v линий заняты);

π — вероятность потери вызова: π = В+Р.

Рассмотрим систему с потерями (без наличия повторных попыток) и по­строим марковский процесс, описывающий поведение системы в случае упорядоченного поиска (одно- и двустороннего). Для этого вводится трехмерное про­странство состояний (i, j₁, j₂), где i = 0, если неисправная линия свободна, и i = 1, если она занята; j₁ — число занятых линий среди линий с номерами 1, 2, ..., k—1 и j₂ — число занятых линий среди линий с номерами более k.

Cтроим систему линейных алгебраиче­ских уравнений, при этом для сокращения записи вводится вспомогательная функция:

Тогда имеем:

(8.5)

(8.6)

Поясним смысл использования функции δ(х). Эта функция указывает, что предпоследнее слагаемое равно нулю при k—1=j₁ и последнее слагаемое равно нулю при v – k = j₂. В (6) множитель λ₁(1— δ(k—1— j₁)) означает, что не­исправная линия занимается с интенсивностью λ₁ при занятости первых k—1 ли­ний, т. е. при k—1 = j₁ [тогда 1— δ(k—1— j₁) = 1].

При решении системы следует использовать нормирующее условие. Числен­ным методом находим интересующие нас характеристики:

(8.7)

Объясним вывод Р. Сумма по j₁ и j₂ дает вероятность того, что неисправная ли­ния занята, или, другими словами, долю времени, в течение которого она заня­та. За это время она успевает обслужить вызовов, а делением этого числа на λ находим вероятность того, что вызов будет обслужен неисправной линией.

В случае упорядоченного одностороннего искания в систему (5), (6) следу­ет подставить λ=λ₁, λ₂=0. Особенно сильно влияет неисправная линия на пропускную способ­ность пучка, если она находится в начале пучка. При наличии неисправной ли­нии вероятность блокировки В, регистрируемая устройствами контроля качест­ва, падает значительно — около 1/3 в диапазоне потерь 20—30% (что наблюда­ется на пучках первого выбора); истинная же вероятность потерь вызова π = В+Р растет весьма значительно. При r = 15 наблюдается Р > 0,4 даже для сравнительно больших нагрузок. При r → ∞ Р стремится к Е_k-1(А), а В стремит­ся к нулю.

В случае упорядоченного двустороннего искания влияние неисправной ли­нии меньше, чем при одностороннем, и все же при избыточной нагрузке в 20% и наиболее выгодном расположении неисправной линии (k = 10) доля сброшен­ных вызовов Р ≈ 0,2.

Сравнение трех способов искания показывает, что более всего влияние неис­правной линии оказывается при одностороннем упорядоченном искании, при дву­стороннем искании влияние меньше и при случайном искании еще меньше.