2.5. Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
,
(2.16)
где
угол между векторами
и
.
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то угол между векторами не определен, и скалярное произведение полагается равным нулю.
Проекцию
вектора
на ось, определяемую вектором
,
обозначим
.
По определению проекции вектора на ось
имеем:
.
Тогда скалярное произведение двух
ненулевых векторов
и
определяется формулой
.
(2.17)
Учитывая, что в определении скалярного произведения векторы и взаимозаменяемые, его можно представить в виде
.
(2.18)
Соотношения (2.17) и (2.18) позволяют сформулировать другое определение скалярного произведения.
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.
Физический
смысл скалярного произведения заключается
в следующем: если точка приложения силы,
задаваемой постоянным вектором
,
перемещается вдоль вектора
,
то работа этой силы определяется
равенством
,
где
угол между векторами
и
,
т. е. работа равна скалярному произведению
векторов
и
.
Теорема 8. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Доказательство.
Необходимость. Пусть
векторы
и
ортогональны,
угол между ними, тогда
,
и в силу формулы (2.16)
.
Достаточность.
Пусть
.
Докажем, что векторы
и
ортогональны. Если хотя бы один из
векторов равен нулевому вектору, то он
имеет неопределенное направление, и
можно считать, что векторы ортогональны.
Если оба вектора
и
ненулевые, то
,
,
поэтому из (2.16) следует, что
,
т, е. векторы
и
ортогональны. Теорема доказана.
Если
два вектора привести к общему началу,
то в качестве угла
между этими векторами можно взять любой
из углов
или
.
Действительно,
сумма углов
и
равна
,
поэтому
.
В определение скалярного произведения
входит сомножителем только косинус
угла между векторами. Из двух углов
и
между векторами один всегда не более
.
За угол
между векторами принимается наименьший
из углов
и
,
т. е.
.
Если скалярное произведение двух ненулевых неколлинеарных векторов и положительно (отрицательно), то эти два вектора составляют острый (тупой) угол.
Свойства скалярного произведения:
.
Доказательство.
Это свойство непосредственно вытекает
из определения скалярного произведения:
.
Свойство доказано.
.
Доказательство.
Для доказательства этого свойства
воспользуемся формулой (2.18) для определения
скалярного произведения и свойствами
проекций векторов на ось:
.
Свойство доказано.
.
Доказательство.
Воспользуемся
формулой (2.18) для определения скалярного
произведения и свойствами проекций
векторов на ось. Получим:
.
Свойство доказано.
,
если
,
и
,
если
.
Доказательство.
Из определения скалярного произведения
с использованием соотношения (2.16)
следует, что
.
Если
,
то
и
.
Если же
,
то
,
поэтому
.
Свойство доказано.
Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не учитывая порядок векторных сомножителей и сочетая числовые множители.
Из
определения и свойств скалярного
произведения векторов следует, что для
базисных векторов
,
,
выполняются соотношения
;
(2.19)
.
(2.20)
Теорема 9. Если векторы и заданы своими координатами, т. е. , , то скалярное произведение векторов и вычисляется по формуле
.
(2.21)
Доказательство.
Разложим векторы
и
по базису
,
,
,
получим
,
.
Тогда по свойствам скалярного произведения
векторов, используя формулы (2.19), (2.20),
имеем
.
Теорема доказана.
Следствие. Угол между ненулевыми векторами и определяется по формуле
.
(2.22)
Доказательство.
По определению
скалярного произведения двух ненулевых
векторов
,
поэтому
.
Воспользовавшись формулами (2.21) и (2.9)
для скалярного произведения и длин
векторов, заданных своими координатами,
получим формулу (2.22).
Замечание. Если один из векторов или является нулевым, то угол между векторами определяется неоднозначно и может быть выбран произвольным.
П р и м е р 24.
Дано, что
,
.
Определить, при каком значении
векторы
и
будут взаимно перпендикулярны.
Решение.
Условием перпендикулярности векторов
является равенство нулю их скалярного
произведения, т. е.
.
По свойствам скалярного произведения
.
Таким образом,
,
или
.
П р и м е р 25.
Векторы
и
образуют угол
.
Зная, что
,
,
вычислить угол
между векторами
и
.
Решение.
Для нахождения косинуса угла
между векторами
и
воспользуемся соотношением (2.22). По
формуле (2.21):
.
Найдем длины векторов
и
,
используя свойства скалярного
произведения:
.
Аналогично находим, что
.
Тогда
и
.