2. Энергия магнитного поля

Необходимо выяснить, откуда берётся энергия и как её рассчитать? Рассмотрим опыт. Пусть имеется электрическая цепь, в которой катушка с индуктивностью (L) последовательно соединена с лампочкой и через переключатель может быть замкнута либо на источник постоянного тока ( ), либо на резистор с сопротивлением (R) (рис.1).  Если в цепь включить амперметр, то можно получить график зависимости тока в цепи от времени. Сначала, замкнём катушку на источник ЭДС – в цепи будет протекать ток І (рис.2).

                              Рис. 1

Рис. 2

            Затем, в некоторый момент времени t₀ переключим ключ, замыкая катушку на резистор R – в цепи будет протекать убывающий ток. С момента времени t₀ до полного исчезновения тока пройдёт определённое время, в течение которого будет происходить перенос заряда в цепи катушки и резистора. Следовательно, будет совершаться работа – убывание тока в катушке вызовет явление самоиндукции и в ней возникнет ЭДС самоиндукции. Разобьём участок 2 движения тока на бесконечно малые интервалы времени ∆t, такие, что на каждом интервале изменения тока можно считать линейными (рис.3).

  Рис. 3

  На каждом таком участке будет совершаться работа численно равная произведению ЭДС индукции на переносимый за этот интервал времени заряд

  (1.2.)

   (1.3.)

Подставим выражение для ЭДС самоиндукции в работу на интервале времени ∆t.

  (1.4.)

Отношение перенесённого заряда ∆q к интервалу времени ∆t является средним значением тока на этом элементарном интервале времени.

  (1.5.)

Тогда выражение для работы на элементарном интервале времени примет вид.

  (1.6.)

Если просуммировать работу по всем элементарным участкам ∆t от t₀ до 0 получим выражение для полной работы за весь интервал времени.

  (1.7.)

Такая работа пойдёт на нагревание проводников внутри катушки замкнутой на резистор.

Выразим энергию магнитного поля, через параметры магнитного поля. Для катушки индуктивность равна произведению магнитной постоянной на объём катушки и квадрат числа витков на единице длины.

 (1.8.)

 (1.9.)

Модуль магнитной индукции катушки определяется соотношением (1.10.).

 (1.10.)

Тогда для энергии магнитного поля получим выражение (1.11.). Разделим выражение для энергии магнитного поля катушки на её объём, считая, что всё магнитное поле сосредоточено в объёме катушки (1.12.).

  (1.11.)

  (1.12.)

3. Плотность энергии магнитного поля

Развивая теорию электромагнетизма, Джеймс Кларк Максвелл показал, что полученное выражение для длинной катушки справедливо для любых магнитных полей, а полученная величина называется плотность энергии.

4. Решение задач

Задача 1. В катушке индуктивностью 0,6 Гн сила тока равна 20А. Какова энергия магнитного поля этой катушки?

Дано: L=0,6Гн I=20А

Wм – ?

(Ответ: 120Дж.)

Задача 2. Найти энергию магнитного поля соленоида, в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 0,5Вб.

Дано: I =10А Ф=0,5Вб

Wм – ?

Задача 3.Какой должна быть сила тока в обмотке дросселя индуктивностью 0,5Гн, чтобы энергия поля оказалась равной 1Дж?

Дано: L=0,5Гн Wм=1Дж

I – ?