1.3. Вычисление выборочных характеристик.
Для любой случайной величины кроме ее функции распределения желательно указать числовые характеристики, важнейшими из которых являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Пусть объем генеральной совокупности равен N. Тогда математическим ожиданием СВ Х является генеральное среднее:
хг=
i.
Дисперсией СВ Х является генеральная дисперсия:
Dг =
(хi
- хг)2.
Корень квадратный из генеральной дисперсии называется генеральным средним квадратическим отклонением.
г=
г
Таким образом, для нахождения генеральных числовых характеристик необходим анализ всей генеральной совокупности. В силу того, что в реальности чаще всего работают с выборками, приходится находить оценки указанных выше генеральных характеристик – выборочные числовые характеристики.
Выборочное среднее- это среднее арифметическое наблюдаемых значений выборки.
в
=
i
При задании выборки в виде вариационного ряда рассчитывается по следующей формуле:
в
=
ixi
Оценкой генеральной дисперсии является выборочная дисперсия.
Dв =
i
-
)2
.
Зачастую для вычисления выборочной дисперсии применяют следующую формулу:
Dв = i2 – 2xi + ( )2 ).
При задании выборки в виде вариационного ряда имеем:
Dв =
i
(xi -
в
)2.
Корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратическим отклонением.
При задании выборки в виде интервального
вариационного ряда вместо хi
рассматривается среднее значение
i
=
.
Для задачи 1.1. имеем:
=
=
2
Dв
=
((0-2)2*8+
(1-2)2*17+(2-2)2*16+(3-2)2*10+(4-2)2*6+(5-2)2*2+(7-2)2*1=2,1
Для задачи 1.2. имеем:
=
(6.69* 6+6,72*8+6,75*20+6,78*13+6,81*2+6,83*1)=6,75.
Dв = ((6,69-6,75)2*6+(6,72-6,75)2*8+(6,75-6,75)2*20+(6,78-6,75)2*13+(6,81-6,75)2*2+
+(6,83-6,75)2*1)=0,0481.
Упражнения и задачи
1.Анализируются объемы ежедневных продаж некоторого товара за 60 дней. Получены следующие данные:
5,6,3,2,7,7,6,6,10,11,6,4,5,6,3,12,9,10,7,4,6,7,8,10,8,5,5,4,3,6,6,7,7,8,8,10,6,4,5,6,12,7,7,8,11,9,10,
5,6,4,2,7,11,8,7,9,5,6,9,5.
Необходимо:
а) построить дискретный вариационный ряд;
б) построить эмпирическую функцию распределения и ее график;
в) определить выборочные среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
2.Анализируется прибыль (%) 100 фирм в некоторой отрасли. Получены следующие данные:
3,3,4,2,4,1,2,3, 5,7,8,6,9,6,5,8,8,7,7,6,8,9,5, 8,9,
10,8,6,15,19,16,10,9,15,18,12,13,18,19,20,4,23,17,16,8,19,15,10,18,9,
8,8,5,17,14,18,15,7,8,16,19,13,16,13,16,8,16,15,8,5,4,12,17,6,9,
6,19,16,14,15,8,12,11,17,18,13,16,18,13,9,10,13,10,13,17,14,15,19,23,2.
Необходимо:
а) построить интервальный вариационный ряд;
б) построить эмпирическую функцию распределения и ее график;
в) определить выборочные среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.