1.3. Критерии устойчивости сау

Как было показано выше, для суждения об устойчивости линейной САУ достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения.

В ТАУ разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках действительных частей корней, не решая характеристическое уравнение и не находя числовые значения самих корней. Эти правила получили название критериев устойчивости.

Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности вещественных частей корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения системы.

Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой ее частотных характеристик.

Наибольшее распространение в инженерной практике нашли алгебраические критерии Гурвица и Рауса.

Рассмотрим один из них - критерий Гурвица.

Критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.

Применительно к задачам ТАУ критерий Гурвица можно сформулировать так: система автоматического управления, описываемая характеристическим уравнением

(2)

устойчива, если при a_n  0 положительны все определители ₁, ₂,…, _n вида

, i = 1, 2, 3, … , n. (3)

Если хотя бы один из определителей (3), называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Определители Гурвица составляют следующим образом: на главной диагонали записывают все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_i (в порядке возрастания индекса), затем в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами. На место с коэффициентами с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули. При этом каждый i–й определитель получается размером i  i.

Так как последний столбец определителя _n содержит всегда только один элемент a_n , отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей

Рассмотрим применение критерия Гурвица для характеристических уравнений разного порядка (табл.1).

Таблица 1

Условия устойчивости по критерию Гурвица

Порядок характерис-тического уравнения САУ	Вид характеристического уравнения САУ	Условия устойчивости по Гурвицу
1
2
3

Продолжение табл.1

4

Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n  5 вычисление определителей становится громоздким. Для анализа устойчивости систем выше четвертого порядка целесообразно применять критерий Рауса.

Из частотных критериев наибольшее распространение нашли критерии Михайлова и Найквиста.

В 1938 году советским ученым Л.В.Михайловым был предложен графоаналитический критерий устойчивости, названный в его честь. Данный критерий позволяет не только судить об устойчивости, но и наглядно оценивать степень влияния параметров системы на ее устойчивость.

Рассмотрим основные положения критерия Михайлова.

Для того, чтобы непрерывная система регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы характеристический годограф при изменении частоты ω от 0 до ∞, начинаясь на действительной положительной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n-квадрантов, нигде не обращаясь в ноль, где n- порядок характеристического уравнения системы регулирования (рис.2). Иначе говоря, вектор Михайлова , при изменении частоты ω от 0 до ∞, совершает против часовой стрелки поворот на угол .

Для того, чтобы проверить устойчива ли САУ в соответствии с критерием Михайлова, достаточно получить характеристическое уравнение замкнутой системы , а затем, построив вектор Михайлова , визуально оценить факт устойчивости.

Рис.2 Примеры годографов вектора Михайлова для случая устойчивых САУ

Отметим некоторые признаки неустойчивости, которыми можно руководствоваться при использовании критерия Михайлова:

• при ω=0 годограф начался не на положительной действительной полуоси;

• на некотором участке вектор годографа вращался по часовой стрелке;

• нарушилась последовательность прохождения квадрантов;

• при некотором значении ω_k годограф прошел через начало координат;

• кривая Михайлова начинается в начале координат.

На первом этапе достаточно выявить факт устойчивости (неустойчивости) САУ, а затем разработчику необходимо провести детальный анализ ситуации и выявить возможные пути повышения устойчивости САУ.

Часто вместо построения всего годографа вектора Михайлова оказывается достаточным исследовать значения корней его действительной и мнимой частей. Нетрудно заметить, что при последовательном прохождении n-квадрантов годограф поочередно n раз пересекает оси координат, т.е. поочередно обращается в нуль мнимая и действительная части (рис.3).

На основании вышесказанного можно сформулировать следствие из критерия Михайлова.

Для того чтобы САУ была устойчива, должны выполняться следующие условия:

1. корни уравнений и должны быть вещественными и чередующимися;

2. при ω=0 мнимая часть должна быть равна нулю, ее первая производная и действительная часть должны быть положительными , , .

Рис.3 График действительной и мнимой частей годографа Михайлова