Mashqlar

Quyidagi tenglamalarga mos keluvchi chiziqlarni yasang:

139. 1) y+3x-6=0 2) 2y-x+4=0

140. 1) x-3=0 2) y+2=0

141. 1) x=0 2) y=0

142. 1) y²-x=0 2) y+2x²=0

143. 1) y+x²-3=0 2) y-2x²+4=0

144. 1) x²+y²-2x=0 2) x²+y²+2x=0

145. 1) x²+y²+4x-6y-3=0 2) x²+y²-6y-4x-3=0

146. 1) 2x²+4y²=0 2) 2x²+3y²=0

147. 1) (x²-9)²+y²=0 2) x²+(y²-4)²=0

7.2. Tenglamalar sistemasining geometrik ma`nosi

Chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin.

Ma`lumki, sistemadagi har bir tenglama to`g`ri chiziqni bildiradi. Sistemaning yechimi ikkala to`g`ri chiziqqa umumiy bo`lgan nuqtasi-ning koordinatalaridan iborat bo`ladi. Bu nuqta to`g`ri chiziqlarning ke-sishish nuqtasidir. Isbotsiz quyidagini keltiramiz.

1. Agar bo`lsa, sistema yagona yechimga ega bo`ladi (to`g`ri chiziqlar kesishadi).

2. Agar bo`lsa, sistema yechimga ega emas (to`g`ri chi-ziqlar parallel)

3. Agar bo`lsa, sistema cheksiz ko`p yechimga ega bo`-ladi (to`g`ri chiziqlar ustma-ust tushadi).

Misol. 1) sistema yagona yechimga ega, chunki

2) sistema yechimga ega emas, chunki

3) sistema cheksiz ko`p yechimga ega, chunki

Agar sistemada tenglamalar har xil darajali bo`lsa, har bir tenglama biror chiziqni anglatadi. Sistemaning yechimi esa bu chi-ziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalaridan iborat bo`ladi.

Misol. sistema nechta yechimga ega?

Yechish: x+y=1 to`g`ri chiziq va x²+y²=4 aylanani bitta chizmada tasvirlaymiz. Ularning kesishish nuqtalari A va B ning koordinatalari sistemaning yechimi bo`ladi. Demak, sistema 2 ta yechimga ega ekan (11-rasm).

11-rasm.

Mashqlar

Quyidagi chiziqli sistemalar yechimga ega yoki ega emasligini aniqlang:

148. 1) 2)

3) 4)

149. 1) 2)

150. 1) 2)

Quyidagi sistemalar nechtadan yechimga ega?

151. 1) 2)

152. 1) 2)

Javoblar: 148. 2) ega; 4) ega. 149. 2) ega emas.

150. 2) ega emas. 151. 2) 2 ta yechimga ega. 152. 2) yechimga ega emas.

7.3. Tenglamalar sistemasini yechishning turli usullari

Tenglamalar sistemasini yechishda turli usullar: noma`lumlarni ketma-ket yo`qotish, o`rniga qo`yish, o`zgaruvchilarni almashtirish va boshqalar qo`llanilishi mumkin. Bularni misolda ko`rib chiqamiz.

1-misol . Sistemani o`zgaruvchini yo`qotish yo`li bilan yeching.

Yechish. Birinchi tenglamani o`zgarishsiz qoldirib, ikkinchi teng-lamani 3 ga ko`paytiramiz va ularni qo`shsak, hosil bo`lgan tenglama fa-qat x ga nisbatan bo`ladi, ya`ni:

bo`lib, qo`shib 11x=11 va x=1 ni topamiz.

Ikkinchi tenglamada x ning o`rniga x=1 ni qo`yib, y ning qiymatini topamiz:

3 1-y=1; y=3-1=2 Yechim; (1;2)

2-misol. sistemani o`rniga qo`yish usuli bilan yeching.

Yechish: Birinchi tenglamadan y=7-x ni topib, ikkinchi tenglamadagi y ning o`rniga qo`yib topamiz:

x(7-x)=12;

7x-x²-12=0

x²-7x+12=0;

;

x₁=3; x₂=4.

y=7-x da x ning o`rniga topilgan qiymatlarni qo`yib, y₁=4 va y₂=3- ni topamiz.

Yechim: (3,4); (4,3).

3-misol. sistemani o`rniga qo`yish usuli bilan yeching.

Yechish: Birinchi tenglamadan x=y+1ni topib, ikkinchi tenglamaga qo`yamiz:

y₁=1; y₂=-2. x₁=2, x₂=-1. Yechim: (2;1), (-1; -2).

4-misol. sistemani belgilab yeching.

Yechish: Sistemani shaklda yozib, x+y=u, xy=v, deb belgilab, sistemani hosil qilamiz. Viyet teoremasiga ko`ra u va v z<sup>2</sup>-11z+30=0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo`ladi:

; z₁=5, z₂=6.

Bundan u₁=5, v₁=6 va u₂=6, v₂=5 ni topamiz va ikkita sistema va ni hosil qilamiz. Bularni yechib, sistemaning yechimi (2;3), (3;2) (5; 1), (1; 5) ni hosil qilamiz.

5-misol. sistemani grafik usulda yeching.

Yechish: x+y=2 to`g`ri chiziqni va x²+y²=2² aylanani bitta chizma-da chizamiz va ularning kesishish nuqtalari A (2;0) va B (0; 2) ni topa-miz. Sistemaning yechimi (2; 0) va (0; 2) bo`ladi (12-rasm).

12-rasm.