5.2.2. Аналитический метод

 Для расчетов используются следующие математические обозначения, часть из которых для наглядности приведена на рис. 5.2.

 

 

Рис. 5.2. Математические обозначения для аналитического способа

 

h, i, j, k – номера событий соответственно предшествующего, начального, конечного и последующего для работы (i–j);

(i–j) – текущая работа, связывающая событие i с событием j (код работы);

(h–i) – предшествующая работа;

(j–k) – последующая работа;

t(i–j) – продолжительность выполнения работы (i–j);

t(h–i) – продолжительность предшествующей работы (h–i);

t(j–k) – продолжительность последующей работы (j–k);

tкр – продолжительность критического пути;

tрн(i–j) – раннее начало работы (i–j);

tро(i–j) – раннее окончание работы (i–j);

tпн(i–j) – позднее начало работы (i–j);

tпо(i–j) – позднее окончание работы (i–j);

R(i–j) – полный резерв времени работы (i–j);

r(i–j) – свободный (частный) резерв времени работы (i–j).

Пример. Рассчитать временные параметры сетевого графика, приведенного на рис. 5.3 и данным табл. 5.1.

 

 Рис. 5.3 - Расчетная модель сетевого графика

 

Таблица 5.1 - Исходные данные и результаты расчета временных параметров  сетевого графика на рис. 5.1

 

Исходными данными для расчетов являются графы 1 и 2 табл. 4.3, которые заполняются на основании расчетной сетевой модели на рис. 4.6.

Первоначально определяем критический путь на сетевом графике.

Критический путь имеет максимальную продолжительность из всех путей на графике и определяется по выражению

 

.                                      (5.1)

 

Путь 0–1–5–6 имеет продолжительность:

 ч.

Путь 0–1–2–3–5–6 – продолжительность   ч.

Путь 0–1–2–4–5–6 – продолжительность   ч.

Критическим является путь 0–1–5–6.

Критический путь выделяется на графике жирными или двойными линиями.

Раннее начало работы t_рн(i–j) определяется по зависимостям:           

t_рн(i–j) = 0, при j = i₀

               t_рн(i–j) = max(i)[ t_рн(h–i) + t(h–i)], при j ≠ 0.                   (5.2)

 

где i₀ – исходное событие сетевого графика.

Раннее начало равно нулю для исходного события, для других – максимальному значению ранних окончаний предшествующих работ.

Раннее окончание работы t_ро(i–j) равно раннему ее началу плюс ее продолжительность

 

                            t_ро(i–j) = t_рн(i–j) + t(i–j).                                  (5.3)

 

Найдем ранние начала и окончания работ для нашего графика.

Путь 0–1–5–6

Раннее начало t_рн(0–1) работы (0–1) равно 0.

Раннее окончание работы (0–1) имеет вид:

t_ро(0–1) = t_рн(0–1)+ t(0–1) = 0 + 4 = 4.

Ранним началом для работы (1–5) является раннее окончание работы (0–1):

t_рн(1–5) = t_ро(0–1)) = 4.

Раннее окончание этой работы:

t_ро(1–5) = t_рн(1–5) + t(1–5) = 4 + 32 = 36.

Раннее начало работы (5–6) равно раннему окончанию работы (1–5):

t_рн(5–6) = t_ро(1–5) = 36.

Раннее окончание этой работы:

t_ро(5–6) = t_рн(1–5) + t(5–6) = 36 + 5 = 41.

Путь 0–1–2–3–5–6:

t_рн(1–2) = t_ро(0–1) = 4;

t_ро(1–2) = t_рн(1–2) + t(1–2)= 4 + 3 = 7;

t_рн(2–3) = t_ро(1–2) = 7;

t_ро(2–3) = t_рн(2–3) + t(2–3) = 7 + 5 = 12.

Работа (3–5) – простой (работа равна нулю), у нее временные параметры соответственно равны 12–12.

Путь 0–1–2–4–5–6:

t_рн(2–4) = t_ро(1–2) = 7;

t_ро(2–4) = t_рн(2–4)+ t(2–4) = 7 + 24 = 31.

Работа (4–5) – простой, у нее временные параметры соответственно 31–31.

Ввиду того, что работа (5–6) начинается после выполнения работ  (1–5), (2–3) и (2–4) временные параметры работы (5–6) в соответствии с условием зависимости (4.10) определяются по наибольшему времени раннего окончания этих работ. Следовательно, для работы (5–6) принимаем временные параметры из первого пути.

Раннее начало работы (5–6) равно раннему окончанию работы (1–5):

t_рн(5–6) = t_ро(1–5) = 36.

Раннее окончания этой работы будет следующее:

t_ро(1–5) = t_рн(1–5) + t(5–6) = 36 + 5 = 41.

Сетевой график завершается работой (5–6). Следовательно, раннее окончание всего комплекса работ будет равно позднему окончанию работ всего графика

t_ро(5–6) = t_по(5–6) = 41.

Результаты расчетов заносим в графы 3 и 4 табл. 5.1, а t_по(5–6) = 41 – в графу 6.

Для определения поздних сроков выполнения каждой работы расчет ведут в обратной последовательности от завершающего события к исходному.

Позднее начало работы равно позднему ее окончанию минус ее продолжительность

 

                           t_пн(i–j) = t_по(i–j) – t(i–j).                                  (5.4)

 

Позднее начало последующей работы является поздним окончанием текущей работы

 

                    t_пн(j–k) = t_по(i–j).                                         (5.5)

 

Позднее окончание работы определяется по зависимостям:

 

t_по(i–j) = t_кр,  при j = i_n

                  t_по(i–j) = min(i) [t_по(h–i) – t_ро(h–i), при j ≠ in.                (5.6)

 

где iп – завершающее событие сетевого графика.

Позднее окончание работы для последнего события равно критическому пути. Для рассматриваемой работы – равно минимальному значению позднего начала последующих работ.

Определяем поздние начала и окончания работ на критическом пути (0–1–5–6):

t_пн(5–6) = t_по(5–6) – t(5–6) = 41 – 5 = 36;

t_по(1–5) = t_пн(5–6) = 36;

t_пн(1–5) = t_по(1–5) – t(1–5) = 36 – 32 = 4;

t_по(0–1) = t_пн(1–5) = 4;

t_пн(0–1) = t_по(0–1) – t(0–1) = 4 – 4 = 0.

Определяем поздние начала и окончания работ по другим путям:

t_пн(3–5) = t_по(3–5) – t(3–5) = 36 – 0 = 36;

t_пн(4–5) = t_по(4–5) – t(4–5) = 36 – 0 = 36;

t_по(2–3) = t_пн(3–5) = 36;

t_пн(2–3) = t_по(2–3) – t(2–3) = 36 – 5 = 31;

t_пн(2–4) = t_по(2–4) – t(2–4) = 36 – 24 = 12.

Событие 2 имеет два значения позднего начала работ. Согласно условия (5.6) выбираем наименьшее –12:

t_пн(2–4) = t_по(1–2) = 12;

t_пн(1–2) = t_по(1–2) – t(1–2) = 12 – 3 = 9.

Событие 1 имеет два значения позднего начала работ – 4 и 9. Согласно условия (4.14) выбираем наименьшее – 4.

Результаты расчетов заносим в графы 5 и 6 табл. 5.1

Полный резерв времени определяется по формуле

                              R_п(i–j) = t_по(i–j) – t_ро(i–j).                                (5.7)

 Полный резерв времени работы – это максимальное время, на которое можно изменить или отсрочить ее начало, чтобы продолжительность проходящего через нее наибольшего пути не превысила продолжительности критического пути.

Полный резерв времени является зависимой величиной, так как изменение его по одной работе может вызвать изменение резервов по другим работам.

Свободный (частный) резерв времени определяется по формуле 

                R_с(i–j) = t_рн(j–k) – t_ро(i–j).                               (5.8)

 Свободный (частный) резерв времени работы показывает наибольшее время, на которое можно увеличить продолжительность какой-либо работы или отсрочить ее начало, не изменяя ранних сроков начала последующих работ.

Свободный резерв времени является независимым, так как его использование не влияет на резервы времени и сроки выполнения последующих работ. Результаты расчетов по формулам (4.12)–(4.15) заносим в графы 5–7 табл. 4.3.