13.5. Критерій Байєса (максимум середнього виграшу)

Цей критерій використовується за умови, коли відомий розподіл ймовірностей відбуття станів системи. Припустимо, що нам відомі значення ймовірностей настання станів системи , які задаються таким розподілом:

Sj	S1	S2		Sm
pj	p1	p2		pm

Існування закону розподілу ймовірностей станів системи дає можливість визначити математичне сподівання корисності при виборі кожної альтернативи. Оптимальною вважається та альтернатива, яка забезпечує екстремальне (min або max) значення математичного сподівання:

(13.7)

Приклад 13.5. Користуючись критерієм Байєса, знайти розв’язок прикладу 13.1, якщо відомі ймовірності станів {0.2; 0.15; 0.3; 0.25; 0.1}.

Розв’язування.

Розв’язок задачі представимо таблицею 13.5.

Таблиця 13.5

Альтернатива	S1		S2		S3		S4		S5
	Vi1	Vi1*p1	Vi2	Vi2*p2	Vi3	Vi3*p3	Vi4	Vi4*p4	Vi5	Vi5*p5
a1	4	0,8	2,2	3,3	15	4,5	16	4,0	29	2,9	15,5
a2	10	2,0	15	2,25	26	7,8	12	3,0	10	1,0	16,05
a3	8	1,6	19	2,85	6	1,8	24	6,0	5	0,5	12,75
a4	30	6,0	25	3,75	5	1,5	14	3,5	16	1,6	16,35
a5	15	3,0	5	0,75	30	9,0	22	5,5	9	0,9	19,15
pj	0,2		0,15		0,3		0,25		0,1

Отже, оптимальним рішенням є вибір альтернативи а₃. 

13.6. Критерій мінімуму середнього ризику

Припустимо, що ОПР володіє інформацією про закон розподілу ймовірностей настання станів системи і ставить перед собою завдання мінімізувати середній ризик. У цьому випадку критерій матиме вигляд:

(13.8)

Приклад 13.6. Користуючись критерієм мінімуму середнього ризику, знайти розв’язок прикладу 13.1, якщо відомі ймовірності станів {0,2; 0,15; 0,3; 0,25; 0,1}.

Розв’язування.

Для розв’язку задачі необхідно мати матрицю величин ризику , значення якої знайдені в прикладі 13.3.

Далі використаємо формулу (13.8) і представимо розв’язок задачі таблицею 13.6.

Отже, оптимальною альтернативою знову буде а₃. 

13.7. Критерій Ходжеса-Лемана

Критерій Ходжеса-Лемана використовує два суб’єктивних показники: закон розподілу ймовірностей настання станів системи і параметр оптимізму  для критерію Гурвіца.

Для загального випадку критерій Ходжеса-Лемана визначається виразом:

(13.9)

де 0  1, 0 р_j 1, .

Приклад 13.7. Користуючись критерієм Ходжеса-Лемана, знайти розв’язок прикладу 13.1, якщо відомі ймовірності станів {0.2; 0.15; 0.3; 0.25; 0.1} та значення “параметрів оптимізму” {0.3; 0.6; 0.8}.Поклавши в основу розрахунків формулу (13.9) і використовуючи результат прикладу 13.5, розв’язок задачі представимо таблицею 13.7.

Таблиця 13.7

Альтерн.
			=0.3		=0.6		=0.8
a1	15,5	29	24,95	min	20,9	min	18,2	min
a2	16,05	26	23,015		20,03		18,4
a3	12,75	24	20,625		17,25		15,0
a4	16,35	30	25,905		21,81		19,08
a5	19,15	30	26,745		23,49		21,32

Результати отриманих розрахунків у табл. 13.7 за критерієм Ходжеса-Лемана для всіх значень  показують, що оптимальною альтернативою буде а₃.

Розглянемо можливі часткові випадки критерію Ходжеса-Лемана:

 =1, отримуємо формулу критерію Байєса;

  = 0, отримуємо формулу критерію Вальда.

Оцінюючи необхідну початкову інформацію критерію Ходжеса-Лемана, можна зробити висновок про ступінь його складності. Основним недоліком розглянутого критерію є те, що в його алгоритмі використовується багато суб’єктивних факторів.