Теоретическая часть

1. Законы распределения

1. Гамма-распределение

Гамма распределение - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределением Эрланга.

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

где - гамма-функция Эйлера. Тогда говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами и . Пишут [2].

Математическое ожидание -

Дисперсия -

2. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события

Случайная величина   имеет экспоненциальное распределение с параметром  , если её плотность имеет вид[2]

.

Математическое ожидание -

Дисперсия -

3. Усеченное нормальное распределение

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

Математическое ожидание –

Дисперсия –

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.[2]

4. Логнормальное распределение

Логнормальное распределение в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение[2].

Математическое ожидание –

Дисперсия –

2. Характеристики распределения порошков по размерам

Допустим, в порошке содержится N частиц, их диаметры D­_i. i=1,2,…,N.

– плотность распределения частиц по размерам.

f(D) – математическая плотность распределения частиц по размерам.

f(D)dD – относительное число частиц, которые имеют размер [D,D+dD].

– относительное число частиц, у которых величина меньше, чем заданное число D[1].

3. Алгоритм метода Монте-Карло

1. С помощью генератора случайных чисел задается случайное число R∈[0,1].

2. Записывается уравнение F(D)=R, где F(D) – заданная функция распределения по размерам. Уравнение решается, находится значение D.

3. Пункты 1 и 2 повторяются для каждой частицы. В результате получается набор N частиц, имеющих заданное распределение f(D).

В случаях, когда F(D) имеет простое аналитическое выражение (экспоненциальная функция), то уравнение F(D)=R может быть решено аналитически и используется зависимость D(R).

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию.

1. Генерируется число R и в массиве находится ячейка F=R. Если такой ячейки нет, то находятся значения двух ячеек, между которыми находится R. С помощью метода линейной интерполяции находится значение D равное соответствующему R[1].