§3. Некоторые классы функций

1. Четные и нечетные функции.

При исследовании функций бывает полезно знать, как влияет перемена знака аргумента на значение функции. В связи с этим выделяются четные и нечетные функции.

Функция у = f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для всех х из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 1).

Примерами четных функций являются функции

sin x

y =x²; y=cos х; y= x ; у= [ х |

Функция у = f(x) называется нечетной, если f(-x) = - f(x) для всех х из области определения.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).

Нечетными, например, являются функции у=х,у=х³; у= tgx.

Для прочих функций эти особенности не имеют

x+2

или y=sin x+cos y

место. Например функции y= x²+5

не являются ни четными ни нечетными, их графики не симметричны ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат. Рис.2. 2. Периодические функции.

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое постоянное число Т≠О, что f(x ± Т ) = f(x) в области определения функции. При этом наименьшее из положительных чисел Т, удовлетворяющих данному свойству, называется периодом. Примером периодических функций служат тригонометрические функции у = sin x, у = cos x, у = tg x и у = ctg x. Период первых двух функций равен 2П, а две последние имеют период равный П. График периодической функции достаточно построить на отрезке длины Т, далее эта кривая повторяется на всю область существования функции.

3. Монотонные функции.

Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) на интервале (а,b), принадлежащем области существования этой функции, если большему значению аргумента х в этом интервале соответствует большее (меньшее) значение

Рис. 3.

функции. Это значит, что для любых значений х₁< х₂ имеем неравенство f(x₁) < f(x₂), а в случае убывания - неравенству х, < х₂ соответствует неравенство f(x,) > f(x₂) (рис. 3,4).

Если функция у = f(x), определенная на интервале, является только возрастающей или только убывающей на этом интервале, то она называется монотонной на интервале.

4. Ограниченные функции.

Функция у = f(x), заданная на интервале (а,b), называется ограниченной на этом

интервале, если существует такое положительное число М>0, что для всех х из данного интервала верно неравенство | f(x) | ≤ М.

Например, тригонометрические функции у = sin х и у = cos х ограничены на всей области их существования и число М для них равно 1.

График ограниченной функции лежит в полосе -М ≤ у ≤ М ( рис. 5).