§3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
Определение
1. Пусть V
– векторное пространство над полем P,
.
Система векторов
называется
линейно
зависимой,
если
Р,
не равные 0 одновременно, такие что
.
Определение
2. Пусть
V
– векторное пространство над полем P,
.
Система векторов
называется
линейно
независимой,
если
=
0,
=
0,
...,
=
0.
Простейшие свойства линейно зависимой системы векторов.
Свойство 1. Система векторов является линейно зависимой хотя бы один её вектор является линейной комбинацией остальных.
Свойство 2. Пусть V – векторное пространство над полем P. Если система векторов (1) содержит нулевой вектор, то система (1) линейно зависима.
Доказательство.
Пусть, например,
.
Тогда
,
где
.
Это означает, что система (1) линейно
зависима. Свойство доказано.
Свойство
3. Если
система векторов содержит линейно
зависимую подсистему, то она линейно
зависима, т.е. если
(1),
(2),
,
(2)
– линейно зависима, то система (1)
линейно зависима.
Доказательство.
Так как система (2) линейно зависима, то
по определение 1
Р,
не равные нулю одновременно, такие что
(3). Пусть, например,
по определению 1 система (1) линейно
зависима. Свойство доказано.
Свойство
4. Если
система векторов (1)
линейно
независима, а система векторов (4)
линейно зависима, то вектор
является линейной комбинацией векторов
системы (1),
т.е. говорят, что вектор
линейно выражается через векторы
системы (1).
Доказательство.
Так как система (4) линейно зависима, то
по определению 1
Р,
не равные нулю одновременно, такие что
(5).
Покажем,
что
0.
Допустим, что
=0
равенство
(5) примет вид
,
причем
не
равны 0 одновременно
система (1) линейно зависима. Противоречие.
Следовательно,
0
равенство
(5) можно записать в виде:
=
+
+
... +
. Таким
образом, вектор
является линейной комбинацией векторов
системы (1). Свойство доказано.
Свойство
5. Если
большая система линейно выражается
через меньшую, то большая система линейно
зависима. Другими словами, пусть
(1),
(6), и каждый
вектор системы (1)
линейно
выражается через векторы системы
(6). Если n
> r,
то система
(1) линейно
зависима.
Следствие
5.1. Пусть
каждый вектор системы
(1)
линейно
выражается через векторы системы (6)
.
Если система
(1) линейно
независима, то n
r.
§4. Базис и ранг системы векторов.
Определение 1. Пусть (1) , V – векторное пространство над полем P. Базисом системы векторов (1) называется максимальная линейно независимая подсистема системы (1).
Замечание
1. Пусть (2)
– базис
системы векторов (1),
{
}\{
}
– линейно
зависимая система
вектор
линейно выражается через векторы системы
(2), т.е.
.
Далее,
,
...,
.
Таким образом, через
базис линейно выражается каждый вектор
рассматриваемой системы.
Данное утверждение позволяет сформулировать
еще одно определение базиса системы
векторов.
Определение 1′. Пусть (1) , V – векторное пространство над полем P. Базисом системы векторов (1) называется линейно независимая подсистема системы (1), через которую линейно выражается каждой вектор системы (1).
Замечание 2. Покажем, что определения 1 и 1′ равносильны.
1) Согласно замечанию 1, из определения 1 вытекает определение 1′.
2)
Покажем, что из определения 1′
следует определение 1. Пусть (3)
-
линейно независимая подсистема системы
(1), через которую линейно выражается
каждый вектор системы (1). Покажем, что
(3) - максимальная
линейно независимая подсистема системы
(1). Пусть
{
}\{
}.
Покажем,
что (4)
– линейно зависимая система. Так как
(3) удовлетворяет определению 1′,
то
линейно выражается через векторы системы
(3)
система
(4) линейно зависима
(3) – максимальная линейно независимая
подсистема системы (1)
(3) удовлетворяет определению 1.
Теорема
1.
Пусть
(1)
,
V
– векторное пространство над полем P,
(2)
и
(3)
– базисы системы (1).
Тогда k
= r,
т.е. любой из базисов системы векторов
содержит одно и то же количество
векторов.
Доказательство.
Так как (2) – базис системы (1), то по
определению 1′
вектор
линейно
выражается через векторы системы (2),
i=
.
Так как (3) – базис системы (1), то по
определению 1′
вектор
линейно выражается через векторы системы
(3), j=
.
Таким образом, k
= r.
Теорема доказана.
Определение 2. Рангом системы векторов называется число векторов, входящих в базис данной системы.