21Функция многих переменных ее область определения

При моделировании практических задач приходится обращаться к функциям которіе зависят он нескольких переменніх например 3 координтаі, 3 координаті и время.

Если в каждой точке М из области определения ставится в соотвествие по определённому закону число U то говорят что задана функция точки n-мерного пространства или функция n-переменных

Частные производные

Рассмотрим ф-цию U=U(x1,x2…xi)n-перемен. и пусть одна переменная получил приращение,тогда и вя ф-ция получит приращ.-оно будте называться частным(xi+дельта xn) Предел отношений частного приращения ф-ции к приращ. аргумента ,вызвавшего это приращ.ф-ции,когда приращ.фрг. стремится к 0 называется частной производной по аргументу xi.

При нахождении частной производной по какой-либо переменной ,остальные аргументы=постоянная величина.

Частные производные высших порядков

Частные производные первого порядка также являются ф-циями 3 или 4 перменных,по-этому от них берутся частные произв.

Определение:Частные произв.,взятые от одной и той же ф-ции по нескольким различным переменным назыв. смешанными частными произв. Теорема:две смеш.частн.произв.в одной и той же ф-ции,отличающиеся лишь порядком диференцирования, равны между собой, при условии их непрерывности.

22Дифференцирование сложной ф-ции двух переменных:

Теорема:если ф-ция двух переменных дифференцируема в некоторой т. P,то есть имеет частные произв.,тогда дифференциал можно представить в виде:

dx=dz/dx*dx+dz/dy*dy(приращение независимых переменных заменены их диффер.).

Неявно заданная ф-ция: Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида у=у(х), которое не разрешено относительно ,, то функция у называется неявной функцией переменной.

Всякую явно заданную функцию   можно записать в неявном виде  . Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение   не разрешимо относительно  , оказывается возможным найти производную от   по  . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию  как функцию от  , а затем из полученного уравнения найти производную  .

23Скалярное поле

Это заданная функция 3-х переменных.

Скалярное поле характеризует такая скалярная величина,как производная по направлению, указывает скорость изменения ф-ции в выбранном направлении. U(x,y,z)=const-поверхность уровня U(x,y)=c –линии уровня.

dU/de=dU/dx*cosL+dU/dy*cosB+dU/dz*cos сигма

Каждому скалярному полю можно поставить в соответствие векторное поле.

Grad U характеризует направление наибольшего изменения скалярного поля,а его модуль –это величина этого изменения.Вектор gradU направлен по направлению по нормали к поверхности U,проходящей через данную точку.