21.2. Динамічні рівняння руху матеріальної точки в декартових координатах та в натуральній формі

Матеріальною точкою можна вважати матеріальне тіло, обертальним рухом якого у порівнянні з поступальним можна нехтувати. При цьому розміри тіла не беруть до уваги.

Матеріальна точка називається вільною, якщо на її рух не накладено ніяких обмежень. У протилежному випадку маємо невільну матеріальну точку.

За аксіомою про звільнення від в’язей, можна отримати диференціальні рівняння руху невільної матеріальної точки, якщо до діючих сил додати сили реакцій в’язей . Тоді невільну матеріальну точку приймаємо за вільну.

Рівняння руху невільної матеріальної точки у векторній формі

.

Тут і - рівнодійні активних сил і реакцій в’язей.

Розглянемо рух вільної матеріальної точки масою під впливом прикладених до неї сил , рівнодійна яких .

Основне рівняння динаміки для вільної матеріальної точки

. (21.1)

Виберемо прямокутну декартову систему відліку з відповідними ортами , , і задамо рух точки координатним способом (рис. 21.1).

Проектуючи обидві частини векторної рівності (21.1) на координатні осі дістанемо:

; ; (21.2)

Тут , , – проекції заданих сил на осі координат.

Проекції прискорення точки на координатні осі дорівнюють

; ; (21.3)

де – координати рухомої точки як функції часу.

Підставивши значення (21.3) у рівності (21.2), дістанемо динамічні рівняння руху матеріальної точки в декартових координатах

(21.4)

З адамо рух точки натуральним способом (рис. 21.2). Оберемо систему відліку з початком у рухомій точці М і з ортами координат , , .

Проектуючи рівність (21.1) на осі натурального тригранника - дотичну головну нормаль і бінормаль, відповідно, дістанемо

; ; (21.5)

Тут , , – проекції заданих сил на рухомі координатні осі.

Проекції прискорення на дотичну, головну нормаль і бінормаль визначаються за формулами

; ; ; (21.6)

Тут – дугова координата, що визначає закон руху точки за траєкторією; – швидкість точки; – радіус кривизни траєкторії точки.

Динамічні рівняння руху матеріальної точки в натуральній формі:

; . (21.7)

Оскільки , то

. (21.8)

При розв’язуванні задач рівняння (21.8) використовується разом з рівняннями (21.7).

Лекція 22 дві основні задачі динаміки матеріальної точки

22.1. Пряма або перша основна задача

Перша – пряма задача динаміки полягає в тому, що за заданими механічним рухом і масою точки визначають сили, під дією яких здійснюється цей рух.

Послідовність розв’язання першої задачі динаміки:

1. Показати на рисунку точку в обраній системі відліку в довільному положенні.

2. Показати на рисунку вектори активних сил, що діють на точку.

3. Умовно відкинути в’язі і замінити їх дію на точку силами, що дорівнюють відповідним реакціям в’язей, вектори яких також показати на рисунку.

4. Відповідно до обраної системи відліку, скласти динамічні диференціальні рівняння руху матеріальної точки.

5. Визначити за відомими кінематичними рівняннями руху точки проекції прискорення точки на осі координат обраної системи відліку і підставити їх у відповідні динамічні диференціальні рівняння руху.

6. Отримавши значення проекцій рівнодійної сили на координатні осі, знайти її величину і напрям за відповідними формулами.

Нехай відомі маса точки та рівняння її руху в координатній формі . Необхідно визначити модуль і напрямок рівнодійної сил, під впливом яких рухається матеріальна точка.

Розв’язання.

Двічі диференціюємо за часом кожне з рівнянь руху та отримуємо значення проекції прискорення точки на декартові осі координат

; ;

Підставивши значення проекцій прискорення на координатні осі до відповідних диференціальних рівнянь, дістанемо величини проекцій рівнодійної сили

Модуль і напрям рівнодійної знаходимо за формулами

;

; ; .

П риклад. Точка масою m рухається у горизонтальній площині згідно рівнянь відносно нерухомої прямокутної системи відліку (рис. 22.1); і b - сталі величини. Визначити величину і напрямок рівнодійної сил , що діють на дану точку.

Розв’язання.

1. Знайдемо рівняння траєкторії точки, вилучивши з рівнянь руху параметр t:

Отже, точка описує коло радіуса з центром в початку координат.

2. Визначимо як змінюються проекції векторів швидкості та прискорення точки на кожну з координатних осей

; ;

; ,

звідки ; .

3. За диференціальними рівняннями руху матеріальної точки в декартових координатах знаходимо проекції рівнодійної на осі координат:

; .

4. Модуль та напрямок рівнодійної , під дією якої точка здійснює заданий рух, визначимо за формулами

;

;

.

Таким чином, кути, утворені вектором сили і напрямками координатних осей, змінюються за законами

.

Отже, вектор сталої за величиною сили , що діє на точку під час її руху, в кожний момент часу спрямований до нерухомого центра .

Розв’язати цю задачу можна і, використовуючи динамічні рівняння руху матеріальної точки в натуральній формі в рухомій системі координат – дотичної з ортом і головної нормалі з ортом з центром в рухомій точці

або ,

оскільки , , тоді .

Напрямок вектора сили збігається з напрямком нормального прискорення, тобто спрямований до центра кола радіуса .