§ 29. Ймовірність влучення у прямокутник зі сторонами, паралельними осям розсіювання. Ймовірність влучення в еліпс розсіювання. Повний еліпс розсіювання

На практиці намагаються відразу обрати систему координат так, щоб осі і співпали з головними осями розсіювання. Тоді середні квадратичні відхилення і і будуть головними середніми відхиленнями і густина нормального розподілу буде мати вигляд:

, (29.1)

де – координати центра розсіювання.

Знайдемо ймовірність влучення випадкової величини у прямокутник з осями, паралельними осям координат, і в якому міститься центр розсіювання (Рис. 13).

Рис. 13

Згідно загальної формули (13.3) маємо

.

Після підстановки в останню формулу (29.1) отримаємо

.

Інтеграли, через які подана шукана ймовірність, обчислюються так само, як і інтеграл (21.2) і дорівнюють

,

.

Остаточно знаходимо:

. (29.2)

Якщо центр системи координат розмістити у центрі розподілу, то густина розподілу (29.1) набуде канонічного вигляду:

. (29.3)

Розглянемо еліпс розсіювання , рівняння якого тоді буде мати канонічний вигляд (28.5):

.

Знайдемо ймовірність влучення випадкової величини з густиною розподілу (29.3) у цей еліпс. Згідно загальної формули (13.3)

.

В подвійному інтегралі введемо нові змінні: , де – є круг, обмежений колом . Якобіан у цьому випадку дорівнює

.

Внаслідок підстановки знаходимо

. (29.4)

В інтегралі (29.4) здійснимо перехід до полярних координат

.

За відомими формулами з [9] знаходимо:

.

Після обчислення останнього інтеграла остаточно маємо:

. (29.5)

Знайдемо за формулою (29.5) ймовірність влучення випадкової величини у еліпс розсіювання при

.

Таким чином, у цей еліпс з практичною достовірністю укладається усе розсіювання випадкової величини. Тому він називається повним еліпсом розсіювання.

Коли , еліпс розсіювання називається одиничним. Півосі одиничного еліпса розсіювання дорівнюють середнім квадратичним відхиленням. За формулою (29.5) маємо:

.

§ 30. Приклади розв’язання задач

Задача 1. Двовимірна випадкова величина має рівномірний розподіл у чотирикутнику з вершинами , , , , тобто її густина розподілу:

, 6 – площа чотирикутника.

Знайти густини розподілу та випадкових величин та , їх математичне сподівання , , дисперсії , . Довести незалежність цих випадкових величин.

Розв’язання.

Знайдемо густини за формулами (13.5):

Рис. 13

Отже, та мають рівномірний розподіл на та відповідно.

Оскільки виконання умов та рівносильне умові та , то в даному прикладі , тобто має місце формула (25.6). Отже, та – незалежні.

Знайдемо математичне сподівання та дисперсії та :

,

.

Аналогічно, , .

Результати можна було б отримати простіше, використовуючи вирази для математичного сподівання та дисперсії випадкової величини, рівномірно розподіленої на сегменті .

Задача 2. В двох ящиках знаходяться по 6 кульок. В першому ящику: 1 кулька – з №1, 2 кульки – з №2, 3 кульки – з №3; в другому ящику: 2 кульки – з №1, 3 кульки – з №2, 1 кулька – з №3. Нехай – номер кульки, яку взяли з першого ящика, – номер кульки, яку взяли з другого ящика. Знайти математичне сподівання, дисперсію та коефіцієнт кореляції випадкових величин та .

Розв’язання.

Утворимо закон розподілу системи випадкових величин . Випадкова величина (1;1) має кратність , далі

(1;2)

(1;3)

(2;1)

(2;2)

(2;3)

(3;1)

(3;2)

(3;3) .

Всього випадкових точок . Оскільки відношення кратності точки до всієї кількості точок дорівнює ймовірності появи цієї точки, то таблиця закону розподілу системи випадкових величин має вигляд:

	1	2	3
1
2
3

Сума всіх ймовірностей, що входять в таблицю, дорівнює 1.

Знайдемо математичне сподівання випадкових величин та . Маємо

,

.

Точка є центром розсіювання для заданої системи . Оскільки випадкові величини та незалежні, то математичні сподівання та можна обчислити простіше, використовуючи ряди розподілу:

				1			2			3

	1	2	3

Звідси знаходимо

, .

Для обчислення дисперсії знайдемо та :

; .

Тоді

;

.

Оскільки випадкові величини та є незалежними, то коефіцієнт кореляції .

Задача 3. Задана густина сумісного розподілу неперервної випадкової величини , розподіленої за двовимірним нормальним законом розподілу

.

Знайти: а) густини розподілу складових; б) умовні густини розподілу складових. Знайти центр розсіювання, головні осі та повний еліпс розсіювання цієї випадкової величини.

Розв’язання.

а) Знайдемо густину розподілу складової :

.

Винесемо за знак інтеграла множник , який не залежить від змінної інтегрування , і доповнимо показник під знаком інтеграла до повного квадрата, тоді

.

Враховуючи, що інтеграл Пуассона , остаточно отримаємо густину розподілу складової :

.

Аналогічно знайдемо густину розподілу складової :

.

б) Знайдемо умовні густини розподілу складових. Виконавши елементарні перетворення, отримаємо за (25.4):

, .

Для знаходження еліпса розсіювання даної випадкової величини порівняємо показник з (28.1). В результаті отримаємо систему для визначення :

Розв’язавши систему, знайдемо, що , , .

Впевнимось, що коефіцієнт перед експонентою в співпадає в умові і (28.1):

.

Оскільки в показнику відсутні доданки відносно та нижче другого степеня, то центр розсіювання співпадає з початком координат. Знайдемо тепер кут, на який необхідно повернути осі симетрії еліпса розсіювання при зведенні його рівняння до канонічного вигляду:

, отже .

Для утворення рівняння (28.5) знайдемо головні середні квадратичні відхилення у новій системі координат (після повороту). За тригонометричними формулами знаходимо, що

, , .

Тому за (28.6) маємо:

, .

Отже, канонічне рівняння еліпса розсіювання набуває вигляду:

.

Задача 4. Задана густина сумісного розподілу неперервної двовимірної випадкової величини : у квадраті ; поза квадратом . Знайти: а) значення параметра ; б) математичне сподівання і дисперсію складових; в) кореляційний момент.

Розв’язання.

а) Знайдемо значення параметра за першою формулою з (13.5):

.

Отже, за (13.5) .

б) Знайдемо спочатку густину розподілу складової :

.

Аналогічно отримаємо

.

Знайдемо математичне сподівання складової :

.

Аналогічно отримаємо

.

Знайдемо дисперсію складової :

.

Після подвійного застосування формули інтегрування частинами отримаємо

.

Аналогічно, .

в) Оскільки для густини розподілу даної двовимірної випадкової величини виконується умова (25.6), тоді випадкові величини та – незалежні. В такому випадку .

Задача 5. Знайти ймовірність влучення точки у прямокутник , якщо густина сумісного розподілу випадкових величин та дорівнює .

Розв’язання.

Функцію можна переписати у вигляді

.

Отже, випадкові величини та незалежні і розподілені за нормальними законами з параметрами:

, , , .

Тому ймовірність влучення випадкової величини в задану область:

.

Задача 6. Закон розподілу системи випадкових величин має вигляд

	0	1
0
1

а) З’ясувати залежність випадкових величин та ; б) знайти умовні математичні сподівання та умовні дисперсії; в) кореляційний момент; коефіцієнт кореляції; г) коефіцієнт кореляції..

Розв’язання.

а) Ймовірність того, що випадкові величини та приймуть одночасно значення 0 за таблицею . Але , . Оскільки , то випадкові величини та – залежні.

б) Знайдемо умовні математичні сподівання та умовні дисперсії за формулами (26.5) та (26.7):

, ,

, ,

, .

в) Для обчислення кореляційного моменту скористаємось формулою (27.2). Для цього знайдемо та :

;

.

Отже,

.

Тобто .

г) Підготуємо значення та :

;

;

.

Отже, за (27.4) маємо

.

Питання для повторення

1. Які випадкові величини називаються незалежними.

2. Що є умовним законом розподілу системи двох випадкових величин.

3. Які існують числові характеристики системи двох випадкових величин та формули з їх обчислення.

4. Які випадкові величини є корельованими, а які – некорельованими.

5. В якому випадку випадкові величини розподілені за двовимірним нормальним законом розподілу.

6. Що є повним еліпсом розсіювання.

86