§42. Приклади розв’язання задач

Задача 1. В результаті випадкового вимірювання 10 разів глибини , знайшли вибіркову середню, що дорівнює 15м. Із надійністю побудувати довірчий інтервал для середньої величини всіх вимірювань, якщо результати вимірювання розподілені за нормальним законом і генеральна дисперсія дорівнює .

Розв’язання.

Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати: , , , .

З умови задачі маємо: м, , отже Величина визначається з рівняння

,

за таблицею значень функції Лапласа знаходимо, що при .

Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу:

,

.

Таким чином, для маємо:

.

Отже, з надійністю 0,99 (99% гарантії) параметр , що оцінюється, перебуває в знайденому інтервалу.

Задача 2. Нехай відомо, що випадкова величина розподілена за нормальним законом. Якого значення має набувати надійність , щоб за обсягу вибірки похибка оцінювання її середнього значення не перевищувала 0,01 при .

Розв’язання.

– математичне сподівання, яке підлягає оцінюванню. Для повинна виконуватись за (37.2) рівність:

або

.

Тому

.

Звідки

.

Як бачимо, надійність мала.

Задача 3. Випадково вибрана партія з двадцяти приладів була випробувана щодо терміну безвідмовної роботи кожного з них. Результати випробувань наведено у вигляді дискретного статистичного розподілу:

	100	170	240	310	380
	2	5	10	2	1

З надійністю побудувати довірчий інтервал для –середнього часу безвідмовної роботи приладу.

Розв’язання.

Для побудови довірчого інтервалу необхідно знайти середнє вибіркове і виправлене середнє квадратичне відхилення.

Обчислимо :

Отже, дістали

Далі визначимо:

Отже, .

Виправлене середнє квадратичне відхилення дорівнюватиме:

За таблицею значень розподілу Стьюдента за заданою надійністю і числом ступенів свободи знаходимо значення .

Обчислимо кінці довірчого інтервалу:

Отже, з надійністю можна стверджувати, що буде міститися в інтервалі

.

Задача 4. З генеральної сукупності, ознака якої має нормальний закон розподілу з , реалізована вибірка і побудовано статистичний розподіл:

	10,9	11	11,2	11,3	11,5	11,6	11,8	11,9
	2	4	1	3	4	1	2	3

При рівні значущості перевірити правильність нульової гіпотези при альтернативній гіпотезі .

Розв’язання.

Обчислимо значення . Оскільки , то дістанемо

.

При альтернативній гіпотезі будується двобічна критична область . Враховуючи те, що відоме значення , для знаходження критичних точок скористаємося статистичним критерієм , що має закон розподілу з .

Границя критичної області визначається з рівності

.

За значенням функції Лапласа знаходимо .

Двобічна критична область зображена на рис. 1.

Рис. 1

Обчислимо спостережуване значення критерію

.

Висновок. Оскільки , немає підстав відхиляти .

Задача 5. Реалізувавши вибірку з генеральної сукупності, елементами якої є вимірювання глибин, в яких глибина Х є випадковою величиною з нормальним законом розподілу, дістали статистичний розподіл:

x	66,5	88,5	110,5	112,5	114,5	116,5
	110	220	330	220	110	110

Якщо рівень значущості , перевірити правильність при альтернативній гіпотезі .

Розв’язання.

Обчислимо значення . Оскільки , то маємо

;

.

.

, .

Оскільки обсяг вибірки великий , статистичний критерій наближатиметься до нормального закону розподілу з . Критичні точки визначимо з рівняння

.

Оскільки

,

то

.

Тому для визначення критичної точки застосовуємо рівність

.

Отже, .

Правобічна критична область матиме такий вигляд (рис. 2):

Рис. 2

Обчислимо спостережуване значення критерію

.

Висновок. Оскільки , то приймається.

Задача 6. Серед прийнятих 21 радіосигналів проведені підрахунки пропуску радіосигналу протягом доби. Результати наведені в таблиці

	5	4	2	0	3	2	2	3

Перевірити при рівні значущості гіпотезу про те, що відхилення кількості пропущених радіосигналів від припустимої підкоряється нормальному закону розподілу з .

Розв’язання.

Оскільки кількість пропущених радіосигналів в більшості інтервалів менше 5, тому об’єднаємо 2, 3 та 4 стовпчики, 5 стовпчик з 6, 7 з 8:

	5	6	5	5

Позначимо через – випадкову величину (відхилення кількості пропущених радіосигналів від припустимої). Для обчислення ймовірностей необхідно обчислити параметри нормального закону розподілу та . Їх оцінки знайдемо за вибіркою

,

.

Знаходимо . Оскільки випадкова величина розподілена за нормальним законом на , крайні інтервали в ряді розподілу замінимо відповідно на та . Тоді

,

,

,

.

Отримані результати наведені в таблиці

	5	6	5	5
	9,5	0,84	1,34	9,33

За критерієм Пірсона знайдемо :

.

Знайдемо число ступенів свободи : за вибіркою пораховані два параметри, отже, . Кількість інтервалів 4, тобто . Таким чином, . Оскільки та , то за таблицею –розподілу знаходимо

.

Отже, і висунуту гіпотезу відхиляємо.

Задача 7. Наведені результати спостережень у певний день протягом 30 років над випадковою величиною (температура повітря) у вигляді ряду

20,2; 22,1; 18; 17,2; 24; 23,1; 21,5; 18; 23,2; 16,2; 19,2; 19,6; 22,8; 18,5; 21,8; 23,9; 19,7; 20,9; 25,8; 13,2; 22,7; 23,8; 20,4; 21,4; 23,2; 14,6; 19,6; 16,5; 17,9.

Перевірити при рівні значущості гіпотезу про те, що випадкова величина розподілена за нормальним законом, використовуючи критерій Колмогорова.

Розв’язання.

Знайдемо оцінки математичного сподівання та середньоквадратичного відхилення, виходячи з вибіркової середньої та виправленої вибіркової дисперсії:

;

,

, .

Розглянемо випадкову величину , розподілену за нормальним законом з параметрами, що відповідають характеристикам вибірки ( –математичне сподівання, –середнє квадратичне відхилення).

Ранжируємо елементи вибірки:

13,2; 14,6; 16,2; 16,5; 17,2; 17,9; 18; 18; 18,5; 19,2; 19,6; 19,6; 19,7; 20,2; 20,2; 20,4; 20,9; 21,4; 21,5; 21,8; 22,1; 22,7; 22,8; 23,1; 23,2; 23,2; 23,8; 23,9; 24; 25,8.

Визначимо значення функції розподілу для побудованої випадкової величини в точках, що відповідають елементам вибірки за формулою:

.

Оскільки функція – строго зростаюча та кускова-стала, то може бути досягнуто тільки в точках , тому будуємо таблицю. Вибірка об’ємом у 30 елементів має 26 різних значень. Тому в таблиці вказані тільки 26 значень. Якщо ввести позначення

, ,

то таблиця буде мати вигляд

1	13,2	0,0245	0,0088
2	14,6	0,0383	0,0049
3	16,2	0,0148	0,0185
4	16,5	0,0314	0,0191
5	17,2	0,0168	0,0165
6	17,9	0,0109	0,0442
7	18	0,0460	0,0206
8	18,5	0,0268	0,0066
9	19,2	0,0226	0,0559
10	19,6	0,0068	0,0734
11	19,7	0,0136	0,0198
12	20,2	0,0142	0,0525
13	20,4	0,0209	0,0124
14	20,9	0,0118	0,0452
15	21,4	0,0424	0,0758
16	21,5	0,0215	0,0548
17	21,8	0,0242	0,0576
18	22,1	0,0253	0,0586
19	22,7	0,0545	0,0878
20	22,8	0,0307	0,0641
21	23,1	0,0245	0,0578
22	23,2	0,0337	0,0329
23	23,8	0,0218	0,0116
24	23,9	0,0485	0,0152
25	24	0,0755	0,0421
26	25,8	0,0333	0

За даними таблиці знаходимо

, .

В результаті обчислень за (41.3):

.

За знайдемо :

.

Оскільки рівень значущості , то за таблицею квантилей -розподілу Колмогорова (див. додатки ) знаходимо критичне значення . Оскільки , то немає причини для відхилення гіпотези.

Задача 8. За заданими статистичними розподілами двох вибірок, реалізованих із двох генеральних сукупностей, ознаки яких мають нормальний закон розподілу зі значенням дисперсій генеральних сукупностей ,

	12,2	13,2	14,2	15,2	16,2			8,4	12,4	16,4	20,4	24,4
	5	15	40	30	10			10	15	35	20	20

при рівні значущості перевірити правдивість нульової гіпотези , якщо альтернативна гіпотеза

Розв’язання.

Оскільки , обчислимо :

.

.

Для альтернативної гіпотези будується правобічна критична область. Критичну точку знаходимо з рівності

.

Обчислимо спостережуване значення критерію

Правобічна критична область зображена на рис. 3.

Рис. 3

Висновок. Оскільки , то не відхиляється.

Питання для повторення

1) Поясніть поняття довірчого інтервалу параметра розподілу і надійності довірчого інтервалу.

2) Вкажіть види статистичних гіпотез.

3) Що називається статистичним критерієм.

4) Яка область є критичною областю, які точки називаються критичними точками.

5) Які існують критерії перевірки гіпотез про закон розподілу.

127