4. Рассеивание импульса и энергии свободных носителей заряда в слабом электрическом поле

В слабых электрических полях при не слишком низких температурах основной вклад в рассеяние носителей вносят акустические фононы [10 – 12, 17]

(рис. 5, кр.1). Групповая скорость на линейных участках нижней кривой (кр.1) равна скорости звука (sound) в кристалле. Поэтому кр.1 называют акустической ветвью. Верхняя кривая (кр.2) соответствует частотам Гц, которые лежат в оптическом диапазоне электромагнитного спектра. Поэтому кр. 2 называют оптической ветвью. Модель рис. 5 является одномерной, допускающей лишь в направлении соседних атомов (продольные) смещения. В трёхмерных образцах возможны и поперечные смещения атомов [6, 10 - 12, 17]. Реальные кристаллы допускают продольные (longitudinal) и поперечные (transversal) как акустические (acoustic), так и оптические (optical) моды колебаний. Они имеют неодинаковые дисперсионные кривые, зависят от кристаллического направления и для них общеприняты, соответственно, аббревиатуры LA, TA, LO, TO [6, 10, 11].



2 2



1



 

  

Рис. 5. Вид дисперсионной кривой упругой волны, т.е., зависимости энергии фонона от его волнового вектора линейной решетки с двумя атомами в элементарной ячейке; - круговая частота фонона, - редуцированная постоянная Планка, - скорость звука; кривые и 2- акустическая и оптическая ветви.

В отличие от электронов (фермионов) фононы, как и фотоны, являются Бозе-частицами [13, 14], поэтому их распределение по энергии описывается функцией [10 - 14]

(22)

При рассеянии на фононах носитель или приобретает от кристаллической решетки энергию, или отдает ей. На языке фононов это означает, что носитель либо поглощает (absorb) фонон, либо испускает (emit) его с соответствующими вероятностями

, (23)

Энергия оптического фонона примерно в два раза превы- шает при = 300 К. Поэтому при 300 К оптических фононов, как это следует из (22), мало . Это означает, что при не слишком высоких температурах вероятность поглощения носителем оптического фонона мала. При тех же температурах носители не могут, практически, и испустить оптический фонон, так как число носителей с энергией и большей мало. Как следует из (22), акустических фононов с небольшими энергиями много - Это значит, что вероятности и поглощения и испускания носителем акустического фонона с невысокими частотами велики. В итоге в слабых электричес-ких полях наиболее эффективно рассеяние носителей на акустических фононах. Важно, что подобно рассеянию на примесных атомах, энергия носителей изменяется слабо, а импульс может меняться очень сильно [6, 10 - 1216, 1713] . Поясним это.

Электрон может испустить (рис. 6a) или поглотить (рис. 6b) фонон с импульсом = , изменив свой импульс с начального значения на конечное значение . При рассеянии должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, которые для испускания и поглощения фонона соответственно имеют вид

, ; , , (24)

где и - начальная и конечная энергия электрона.

Рис. 6. Законы сохранения импульса при испускании (а) и поглощении (b) электроном фонона с импульсом = . В секторе значение .

Пусть , т. е., электрон сильно рассеял свой начальный импульс (рис. 6). Тогда , за исключением значений , близких к при испускании фонона и к - при его поглощении (сектор на рис. 6, когда ). При поглощении фонона малые значения запрещены законом сохранения энергии. Такие значения можно не учитывать и при испускании фонона из-за малой доли их вероятности по сравнению с другими возможностями. Если теперь использовать дисперсионное соотношение для акустических фононов на его линейном участке [6, 10 - 12] (рис.5)

= = = (25)

и переписать соотношение (4) в виде , то получим, что |( - ) = 2  / . В слабом электрическом поле характерная скорость носителей в невырожденном полупроводнике порядка средней тепловой скорости [6, 10 - 12, 17]

(26)

где - эффективная масса носителей (электрона или дырки). Скорость звука см/c [6, 10 - 12, 17]. Поэтому при комнатной температуре относительное изменение энергии носителя даже при сильном рассеянии его импульса составляет величину порядка .

Это означает, что при взаимодействии с акустическим фононом энергия носителя теряется гораздо медленнее, чем его импульс. Можно сказать, что время релаксации импульса много меньше, чем энергии - .

Но неравенство обусловлено и другим обстоятельством. Для изменения импульса неважно, испустился фонон или поглотился. Релаксация же энергии определяется двумя противоположными процессами – потерей энергии при испускании фонона и приобретением её при поглощении фонона. Вычисляя интеграл столкновений с учётом соотношений (22) и (23) [10 - 12], можно получить, что среднее на одно столкновение с фононом значение энергии потерь носителя (carrier)

(27)



Из (4) и (27) для наиболее интересных значений = разложением гиперболического тангенса в ряд, найдём относительное изменение энергии носителя

(28)

где - начальная энергия носителя и учтено, что - закон сохранения импульса. При К имеем . Это означает, что [12].

При комнатных температурах рассеянием носителей на примесных атомах можно пренебречь вследствие их малого числа по сравнению с акустическими фононами. Однако, по мере понижения температуры из-за уменьшения числа акустических фононов с рассеяние носителей на примесных атомах становится существенным.