Гомотетия

Г омотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не ислючается и возможность k<0.

При k =1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k =1 получается тождественное преобразование.

Основное свойство гомотетии

П ри гомотетии с коэфффициентом k каждый вектор умножается на k. Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффффициентом k перешли в точки A' и B', то

A'B' = kAB

Доказательство.

П усть точка O  центр гомотетии. Тогда OA' = kOA, OB' = kOB. Поэтому A'B' = OB'  OA' = kOB  kOA = k(OB  OA) = kAB.

И з равнетсва A'B' = kAB следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэфффициентом |k|.

Отметим, что любое подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения.

Некоторые свойства гомотетии

1. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.

2. Гомотетия сохраняет величину углов.

3. .

4. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k­_1­ и k₂ ,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом 1/k.

Свойства подобия.

1. Подобие отрезок переводит в отрезок.

2. Подобие сохраняет величину углов.

3. Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответсвенные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны

4. В результате подобия с коэффициентом k площади фигур умножаются на k².

5. Композиция подобий с коэффициентами k­_1­ и k₂ есть подобие с коэффициентом k₁k₂.

6. Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом 1/k.