2.3.1 Задачі на блукання по безкінечній прямій. Трикутник ймовірностей

Відмітимо на прямій точки 0, ±1, ±2, ±3,… і проробимо наступний експеримент. Поставимо в точку, помічену числом 0, фішку. Підкинемо монету, і якщо вона впаде вверх гербом, пере двинемо фішку на одну поділку вліво, а якщо монета впаде вверх решкою, то на одну поділку вправо. Виконаємо дану дію раз, другий, третій і т. д. і будемо кожний раз зміщувати фішку відповідно до результатів підкидання. Врахувавши, що обидва результати підкидання рівно ймовірні , і таким чином за кожним підкиданням фішка зміщується з ймовірністю вліво і з ймовірністю вправо.

Закон утворення трикутника ймовірностей.

Очевидно, що після першого кроку фішка може опинитись в точках -1 в -3, -1, 1, 3 і т. д. Наглядне відображення можливих положень фішки в кожний момент часу дає схема на рис. 3.

Точки, зображені на даній схемі, утворюють трикутник (даний трикутник можна безмежно продовжувати вниз). Вершина трикутника знаходиться на числовій відмітці 0, і це відповідає тому факту, що 0 – початкове положення нашої фішки. Перший рядок трикутника складається із двох точок. Цифри які стоять над цими точками – 1 і 1 показують можливі положення фішки через 1 крок. Наступний рядок задає можливі положення фішки через 2 кроки і т. д.

ГГ,ГР,РГ,РР

Схема зображена на рис. 3, показує всі можливі положення фішки, але серед цих положень одні більш, другі менш ймовірні. Спробуємо обчислити їх ймовірності. В початковий момент фішка знаходиться з ймовірністю 1 в точці 0. Після одного підкидання монети вона знаходиться з ймовірністю в кожній з точок -1, 1. Результати двох підкидань можуть бути наступними:

Ці чотири результати рівно ймовірні і, тобто кожен з них має ймовірність

Перший результат приводить фішку в положення -2, другий і третій в 0, а четвертий в +2.Тому після двох кроків фішка буде знаходитись з ймовірністю в -2, з ймовірністю в 0 і з ймовірністю в +2.

Аналогічно можна обчислити ймовірності кожного з можливих положень фішки після 3, 4 і т. д. кроків. Замінюючи кожну точку схеми відповідною ймовірністю, отримаємо числовий трикутник, зображений на рис. 4.

Отриманий числовий трикутник (ми будемо називати його трикутником ймовірностей) є власником чудової властивості: кожен з його членів рівний півсумі двох стоячих над ним членів. Легко перевірити цю властивість для всіх членів, виписаних на рис. 4. Але ясно, що така перевірка ще не доводить, що та ж сама властивість збережеться при будь-якому продовженні нашого трикутника.

За допомогою “правила півсуми” легко продовжити трикутник ймовірностей. На рис. 5 виписані перші дев’ять рядків трикутника

ймовірностей (не рахуючи нульовий, складений із одної вершини трикутника). Підрахувати їх прямим шляхом (як це було зроблено з першими чотирма рядками) було б не легкою справою.

Візьмемо до уваги , що “правило півсуми” рівносильне наступному “правилу ділення пополам”. Розглянемо деякий рядок трикутника, поділимо пополам кожне число з цього рядка і здвинемо одну половинку вниз вліво, а іншу вниз вправо (рис. 6, де дані дії зроблені для 4-го рядка). Після додавання двох чисел , попавши в одну точку, ми отримаємо наступний рядок трикутника.

Розглянемо цікавий приклад: якщо помножить перший рядок трикутника на 2, другий на 2², третій на 2³,…, n-у на 2ⁿ, то ми отримаємо трикутник який складається з цілих чисел. Такий трикутник носить назву трикутника Паскаля, рис. 7. [7.108-111]