2.Спосіб середніх

Спосіб середніх полягає в тому, що невідомі коефіцієнти емпіричної залежності визначаються з умови прирівнювання до нуля різниці суми всіх відхилень дійсних отриманих практичних значень експерименту, тобто величини y_i від отриманих обчислень у_i0 , які вирахували згідно з вибраною теоретичною залежністю:

Для залежності виду y = a + bx маємо:

Після перетворень отримаємо:

Таким чином, ми маємо одне рівняння, але з двома невідомими а та b.

Щоб розв'язати поставлену задачу, необхідно поділити весь масив експериментальних даних на стільки частин, скільки невідомих у рівнянні. У даному - на дві частини:

Для наведених експериментальних даних маємо:

Після розв'язання системи лінійних рівнянь емпірична формула, яка описує поведінку експериментальних даних, матиме вигляд:

у = 0,58 + 6,7х.

При визначенні коефіцієнтів а та b способом середніх ми використали весь масив даних. Але цей спосіб ефективний лише у тих випадках, коли кількість невідомих коефіцієнтів, що входять в емпіричну формулу, не перевищує 1 чи 2, максимум - 3 . Тому розглянемо найбільш поширений і точний спосіб визначення невідомих коефіцієнтів.

3. Спосіб найменших квадратів

Суть цього способу полягає в тому, що сума квадратів відхилень експериментальних даних у_i від y_i0 які визначені за формулою вздовж осі ординат ОY, повинна бути мінімальною - принцип Лежандра. Відповідно до цього принципу часткові похідні від функції по кожному з невідомих коефіцієнтів повинні дорівнювати нулю.

Для нашого випадку при вибраній емпіричній формулі y = a + bx маємо:

,

де

Тоді можемо записати:

або після перетворення отримаємо:

Після розв'язання системи рівнянь за наведеними значеннями експериментальних даних отримаємо: а = 0,04; = 6,71.

Тоді емпіричне рівняння матиме: y = 0,04 + 6,71х.

Порядок виконання роботи.

1. Побудувати таблицю вихідних даних та результатів обчислень у вигляді ( варіанти завдань взяти згідно з додатком 1):

i	xi	yi	xi yi	x2i
1 2 .. n

2. Вважати, що зміна вихідного параметра експериментальних даних описується лінійною залежністю виду y = a + bx .

3. Обчислити невідомі коефіцієнти а та b за трьома способами:

обраних точок, середніх,найменших квадратів.

4. Записати отримані кожним із способів кінцеві емпіричні формули.

5. На координатній площині ХОУ побудувати графіки згідно з отриманими теоретичними емпіричними формулами типу для y = a + bx кожного із використаних способів. На цій же координатній площині ХОУ побудувати графічну залежність заданого масиву експериментальних даних у вигляді ламаної лінії. Кожну з ліній на графіку виконати в іншому стилі (кольорі) і позначити.

Контрольні запитання

1. Який експеримент називається пасивним?

2. Скільки необхідно взяти довільних точок при визначенні невідомих коефіцієнтів способом обраних точок, коли у вибраній математичній залежності їх буде 3 або 5?

3. У чому полягає суть визначення невідомих коефіцієнтів способом найменших квадратів?

4. Дати визначення поняттю "масив експериментальних даних".

Лабораторна робота № 2

Визначення виду та параметрів емпіричних залежностей

Мета роботи: більш глибоко засвоїти поняття апроксимації отриманої експериментальної залежності та етапи і порядок визначення виду емпіричних формул та аналізу результатів отриманих робіт.

Теоретичні відомості

Після проведення експерименту дослідник отримує ряд статистичних величин (масив експериментальних даних), коли кожному наданому їм в експерименті значенню вхідного фактора x_1, x_2, …., x_N відповідає певне значення вихідної досліджуваної величини (функції) або параметру оптимізації у₁, y₂….y_N. На підставі аналізу отриманого масиву експериментальних даних можливо підібрати таку математичну залежність у = f (х), яка б описувала поведінку досліджуваних величин факторів та функції, тобто поведінку зміни досліджуваної функції від зміни вхідного фактора. Подібний алгебраїчний вираз, тобто математична залежність, називається емпіричною залежністю або емпіричною формулою, а сам процес підбору - апроксимацією.

Емпіричні формули дають можливість оперативно визначати величину функції, тобто параметра оптимізації залежно від діючого фактора в широкому інтервалі його зміни. Бажано, щоб емпіричні формули були простими, але якомога точніше описували процес, що досліджується. Тому для підбору емпіричних формул використовують здебільшого елементарні функції, а для визначення коефіцієнтів та сталих цих функцій застосовують найбільш поширений спосіб - найменших квадратів.

Процес підбору емпіричних формул складається з двох етапів:

i етап. Дані експерименту наносять на Декартову систему координат, з'єднують отримані точки ламаною лінією і підбирають орієнтовно вигляд математичної залежності (моделі, формули) об'єкта дослідження.

ii етап. Обчислюють невідомі коефіцієнти та сталі, що входять до обраної математичної формули.

Розглянемо методику визначення невідомих коефіцієнтів основних елементарних функцій.

Графіки основних елементарних функцій наведені на рис. 1 та рис. 2.

а б в

Рис. 1. Графіки степеневої (а), логарифмічної (б) та прямо пропорційної

(в) функцій

а б в

Рис. 2. Графіки показової (а) та зворотно пропорційних функцій (б, в).