Таким образом, оказывается, что работа силы f

зависит только от значе­ний Δl_нач и Δl_кон и не

зависит от вида траектории точки М. Следовательно,

с

Рисунок.10

ила упругости также является потенциальной.

3) Р а б о т а силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся

по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис. 10) или кривой.

Действующая на точку сила трения равна по модулю fN, где f-коэффициент трения, а N-нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, F_тр.τ=-fN и по формуле

(M₁)

(M_1­)

(M₀)

(M₀)

А_(М0М1)=- ∫F_трds=-∫fNdx.

14

Если величина силы трения постоянна, то A_М0М1)=-F_трs, где s-длина дуги кривой М₀М₁ по которой перемещается точка.

Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Величина этой работы зависит от длины дуги М₀М₁.

Следовательно, сила трения является силой непотенциальной.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Р ассмотрим точку с массой т, перемещающуюся под действием при­ложенных к ней сил из положения M₀ , где она имеет скорость V₀,, в положение М₁ , где ее скорость равна V₁.

Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению ma=ΣF_k выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную M_τ к траектории точ­ки М, направленную в сторону движения, получим:

mа=ΣF_kτ.

Стоящую слева величину касательного ускорения можно пред­ставить в виде

.

В результате будем иметь:

ΣF_kτ.

У множив обе части этого равенства на ds, внесем т под знак дифференциала. Тогда, замечая, что ΣF_kτds = dA_к где dA_k-эле­ментарная работа силы F_k получим выражение теоремы об изме­нении кинетической энергии в дифференциальной форме:

ΣdA_k.

Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках M₀ и M₁, найдем окончательно:

Σ А_(М0М1).

Уравнение выражает теорему об изменении кине­тической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов)

И з двух основных динамических харак­теристик, величина mV является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора mV оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Мо­мент вектора mV относительно данного центра О или оси z обозна­чается т_O (mV) или m_Z (mV) и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки отно­сительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора так же, как и момент силы. При этом вектор mV считается приложенным к движущейся точке. По модулю

| т_O(mV) | = mVh, где h-длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора m (рис.10,a).

Теорема моментов отно­сительно центра. Найдем для

ма­териальной точки, движущейся под дей­ствием силы F

(рис.10,а), зависимость между моментами векторов

тV и F отно­сительно какой-нибудь неподвижного

центра О. В конце было показано, что

m₀(F)= .

Аналогично т_O(mV)= .

При этом вектор m₀(F) направлен перпендикулярно

Рисунок.10,а

плоскости, проходящей через центр О и вектор F, а

вектор т_O(mV)-перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор mV.

Д ифференцируя выражение т_O(mV) по времени, получаем:

.

Но , как векторное произведение двух параллельных векторов, a . Следовательно,

или .

В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. Аналогичная теорема имеет место для моментов вектора силы относительно какой-нибудь оси z, в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства на эту ось. Ма­тематическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой .

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Уравнения относительного движения и покоя точки

Законы динамики и полученные из них в предыдущих главах урав­нения и теоремы верны только для так называемого абсолютного движения точки, т. е. движения по отношению к инерциальной (неподвижной) системе отсчета.

Э та глава посвящена изучению относительного движения точки, т. е. движения по отношению к неинерциальным, произвольно дви­жущимся системам отсчета. Рассмотрим материальную точку М, движущуюся под действием приложенных к ней сил F₁, F₂,…F_n, являющихся результатом взаимодействия точки с другими материальными телам.

Будем изу­чать движение этой точки по отношению к осям Oxyz

(рис.11), которые в свою очередь каким-то извест­ным нам

образом движутся относительно неподвижных осей 0₁x₁y₁z₁.

Найдем зависимость между относи­тельным ускорением точки

а_отн и дейст­вующими на нее силами. Для абсолютного

Рисунок.11

движения основной закон динамики имеет вид Σ .

16

Н о из кинематики известно, что где -относительное, переносное и кориолисово ускорения точки. Подставляя это значение а_а и считая в дальнейшем , так как эта величина представляет собою ускорение изучаемого нами относительного движения, получим:

Σ .

Введем обозначения:

.

Величины по размерности являются силами. Назовем их соответственно переносной и кориолисовой силами инерции. Тогда предыдущее уравнение примет вид

Σ .

Уравнение выражает основной закон динамики для отно­сительного движения точки: все уравнения и теоремы механики для относительного движения точки составляются так же, как уравнения абсолютного движения, если при этом к действующим на точку силам взаимодействия с другими телами прибавить переносную и кориолисову силы инерции. Прибавление сил учитывает влияние на относительное движение точки перемещения подвижных осей.

Рассмотрим некоторые частные результаты.

1. Е сли подвижные оси движутся поступательно, то =0, так как в этом случае ω=0

(ω-угловая скорость вращения подвиж­ных осей Oxyz) и закон относительного движения принимает вид

Σ .

2. Если подвижные оси перемещаются поступательно, равномерно

и прямолинейно, то =0 и закон относительного движе­ния будет иметь такой

же вид, как и закон движения по отношению к неподвижным осям. Следовательно, такая

система отсчета также будет инерциальной.

Из полученного результата вытекает, что никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система от­счета в покое или совершает поступательное, равномерное и прямо­линейное движение. В этом состоит открытый еще Галилеем принцип относительности классической механики.

3. Если точка по отношению к подвижным осям находится в по­кое, то и

, а следовательно, , так как кориолисово ускорение . Тогда:

Σ .

Уравнение представляет собою уравнение относительного равновесия (покоя) точки. Из него следует, что уравнения отно­сительного равновесия составляются так же, как уравнения равновесия в неподвижных осях, если при этом к действующим на точку силам взаимодействия с другими телами добавить переносную силу инерции.

Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел

При решении большинства технических задач мы считаем си­стему отсчета, связанную с Землей, неподвижной (инерциальной). Тем самым мы не учитываем суточное вращение Земли и ее движение по орбите вокруг Солнца. Таким образом, считая систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной, мы по существу прене­брегаем ее суточным вращением вместе с Землей по отноше­нию к звездам. Это вращение происходит со скоростью: 1 оборот за 23 часа 56 минут 4 секунды, т. е. с угловой скоростью

.

Исследуем, как сказывается такое довольно медленное вращение на равновесии и движении тел.

1. Относительный покой на поверхности Земли. Сила тяжести. Рассмотрим материальную точку, лежащую на неподвижной относительно Земли гладкой «горизонтальной» плоскости (рис.12). Условие ее равновесия по отношению к Земле состоит в том, что , где -сила притяжения Земли, N-реакция плоскости, -переносная сила инерции. Так как ω=const, то сила имеет только нормальную составляющую, направленную перпендикулярно к оси вра­щения Земли. Сложим силы и введем обозначение

.

Т огда на точку М будут действовать две силы Р и N, уравно­вешивающие друг друга. Сила Р и представляет собою ту силу, ко­торую мы называем силой тяжести.

Рисунок.12

На­правление силы Р будет направлением верти­кали в данном

пункте поверхности, а плоскость, перпендикулярная к

и будет горизонтальной плоскостью. По модулю

(r-расстояние точки М от земной оси) и

величина малая по сравнению с F_пр, так как величина ω²

очень мала. Направление силы мало отличается от

направления F_пр

При взвешивании тел мы определяем силу , т.к. именно

с такой силой тело давит на тело весов. То есть, вводя в

уравнения равновесия силу тяжести , мы вводим в них и силу , т. е. фак­тически учитываем влияние вращения Земли. Поэтому при состав­лении уравнений равновесия тел по отношению к Земле ника­ких поправок на вращение Земли вводить не надо. В этом смысле равновесие по отношению к Земле можно считать абсолютным.

а ) Движение по земной поверхности. При движении точки по меридиану в северном полушарии с севера на юг кориолисово ускорение

направлено на восток, а сила - на запад.

При движении с юга на север сила будет,

очевидно, направлена на восток. В обоих случаях,

как мы видим, эта сила будет отклонять точку

вправо от направления ее движения.

Е сли точка движется по параллели на восток,

то ускорение будет направлено вдоль

р

Рисунок 13

адиуса МС параллели (рис.13), а сила в

противоположную сторону. Вертикальная

18

составляющая этой силы (вдоль ОМ) будет несколько изменять вес тела, а горизонтальная составляю­щая будет направлена к югу и будет отклонять точку тоже вправо от на­правления движения. Аналогичный ре­зультат получим при движении по па­раллели на запад.

Отсюда заключаем, что в север­ном полушарии тело, движущееся вдоль земной поверхности по любо­му направлению будет вследствие вращения Земли отклоняться вправо от направления движения. В южном полушарии отклонение будет происхо­дить влево.

Этим обстоятельством объясняется то, что реки, текущие в северном по­лушарии, подмывают правый берег (закон Бэра). В этом же при­чина отклонений ветров постоянного направления (пассаты) и мор­ских течений.

МОДУЛЬ 6

ЛЕКЦИЯ 11

Модуль 6 состоит из двух лекций, в которых рассматриваются следующие вопросы:

1. Прямолинейные колебания точки.

2. Свободные колебания без учета сил сопротивления.

3. Вынужденные колебания.

4. Резонанс.

5. Динамика системы и твердого тела.

6. Механическая система.

7. Силы внешние и внутренние.

8. Масса системы.

9. Центр масс.

10. Момент инерции системы относительно оси.

11. Радиус инерции.

12. Момент инерции тела относительно параллельных осей.

13. Теорема Гюйгенса.

14. Дифференциальные уравнения движения системы.

15. Теорема о движении центра масс.

16. Закон сохранения движения центра масс.

Изучение данных вопросов необходимо для динамики колебательного движения механических систем, теории удара, для решения задач в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Детали машин».

19

ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ

Свободные колебания без учета сил сопротивления

Учение о колебаниях составляет основу ряда областей физики и тех­ники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, на­пример в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической природе, основные законы этих коле­баний во всех случаях остаются одними и теми же. Поэтому изуче­ние механических колебаний является важным не только по той причине, что такие колебания очень часто имеют место в технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении меха­нических колебаний, могут быть использованы для изучения и уясне­ния колебательных явлений в других областях.

Начнем с изучения свободных колебаний точки без учета сил сопротивления. Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восстанавливающей силы , направленной к неподвижному центру. О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы на ось Ох (рис.14)

б удет равна

Рисунок.14

F_x=-cx.

Сила , как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где F=0;

отсюда и наименование «восстанавливающая» сила. Примером такой силы является сила упругости.

Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное уравнение движения получим

.

Деля обе части равенства на т и вводя обозначение

,

приведем уравнение к виду

.

Уравнение представляет собою дифференциальное уравне­ние свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Реше­ние этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x=e^nt. Полагая x=e^nt, получим для определения п так называемое характеристиче­ское уравнение, имеющее в данном случае вид п² + k² = 0. Поскольку корни этого характеристического уравнения являются чисто мнимыми (n_1,2= ±ik), то, как известно из теории дифференциальных уравне­ний, общее решение имеет вид

х = C₁Sinkt + C₂Coskt,

где C₁ и С₂-постоянные интегрирования. Если вместо постоянных C₁ и С₂ ввести постоянные а и α, такие, что C₁=a Cosα, С₂=а Sinα, то мы получим x=a(sinkt cosα 4+ coskt sinα) или

x=aSin(kt+α).

20

Это другой вид решения в котором постоянными интегрирования являются а и а. Им удобнее пользоваться для общих исследований.

Скорость точки в рассматриваемом движении равна

.

Колебания, совершаемые точкой по закону называются гар­моническими колебаниями.

Всем характеристикам этого движения можно дать наглядную ки­нематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся равномерно по окружности радиуса а из положения В₀ определяемого углом DOВ₀ = α (рис.15) Пусть постоянная угловая ско­рость

вращения радиуса ОВ равна k. Тогда в произвольный

момент времени t угол φ= <DOB =α + kt и

про­екция М точки В на диаметр, перпендику­лярный к

DE, движется по закону х= а Sin (kt+α), где х=ОМ,

т. е. совер­шает гармонические колебания.

Рисунок.15

Величина а , равная наибольшему откло­нению точки М

от центра колебаний, назы­вается амплитудой

колебаний. Величина φ= α + kt называется фазой

колебаний.

Величина k, совпадающая с угловой скоростью вращения радиуса ОВ, показанного на рис.15 называется круговой частотой колебаний.

Промежуток времени Т (или τ), в течение которого точка совер­шает одно полное колебание, называется периодом колебаний.

По истечении периода фаза изменяется на 2π. Следовательно, должно kT=2π откуда период

.

Величина υ, обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называется частотой колебаний

υ .

Отсюда видно, что величина k отличается от Т только постоянным множителем 2π. В дальнейшем мы обычно для краткости частотой колебаний будем называть величину k.

Значения а и α определяются по начальным условиям. Считая при t=0 x=x₀ , V_X=V₀ получим x₀,=aSinα и . Отсюда, складывая сначала квадраты этих равенств, а затем деля их почленно, найдем:

.

Отметим, что свободные колебания при отсутствии сопротивления обладают следующими свойствами: 1) амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий; 2) частота k,, а следова­тельно, и период Т колебаний от начальных условий не зависят.

В лияние постоянной силы на свободные колебания

точки. Пусть на точку М, кроме восстанавливающей

с илы F, направленной к центру О, действует еще

п остоянная по модулю и направлению сила Р

Рисунок.16

(рис.16). Ве­личина силы F попрежнему пропорциональна расстоянию от центра О,т.е.

Очевидно, что в этом случае положением рав­новесия точки М будет центр О₁ отстоящий от О на расстоянии ОО₁=δ_ст , которое определяется равенством сδ_ст=Р или

.

Величину δ_ст назовем статическим отклонением точки. Примем центр O₁ за начало отсчета и направим координатную ось О₁х в сторону действия силы Р. Тогда F_X=-с(x+δ_ст), P_X=P. В результате, составляя дифференциальное уравнение дви­жения и учитывая, что согласно равенству сδ_ст=Р, будем иметь:

.

Отсюда заключаем, что постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину ста­тического отклонения δ_ст

Вынужденные колебания. Резонанс

Рассмотрим важный случай колебаний, возникающих, когда на точку, кроме восстанавливающей силы , действует еще периодически изменяющаяся со вре­менем сила , проекция которой на ось Ох равна

.

Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происхо­дящие при действии такой силы, называются вынужденными. Вели­чина Р является частотой возмущающей силы.

Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со временем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда Q_X определяется указанным равенством. Такая возмущающая сила назы­вается гармонической.

Рассмотрим движение точки, на которую, кроме вос­станавливающей силы , действует только возмущаю­щая сила . Дифференциальное уравнение движения в этом случае

.

Разделим обе части этого уравнения на т и положим

.