Лекция 16 принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики

При изучении равновесия системы тел методами так называемой геометрической статики приходится рассматривать равновесие каждого из тел в отдельности, заменяя наложенные связи соответствующими наперед неизвестными реакциями. Когда число тел в системе велико, этот путь становится весьма громоздким и связан с необходимостью решать большое число уравнений со многими неизвестными.

Отличительная особенность метода, вытекающего из принципа возможных перемещений, состоит в том, что при его применении эффект действия связей учитывается не путем введения неизвестных наперед реакций, а путем рассмотрения перемещений, которые можно сообщить точкам системы, если вывести систему из занимаемого ею положения. Эти перемещения называют в механике возможными (или виртуальными) перемещениями.

Возможные перемещения точек системы должны удовлетворять двум условиям: 1) они должны быть бесконечно малыми, так как при конечных перемещениях система перейдет в другое положение, где условия равновесия могут быть другими; 2) они должны быть такими, чтобы при этом все наложенные на систему связи сохранялись, так как иначе мы изменим, вид рассматриваемой механической системы (система станет другой).

Н апример, для кривошипно-шатунного механизма, изображенного на рис33 перемещение точек кривошипа ОА в положение ОА₁ нельзя рассматривать как возможное, так как в этом положении условия равновесия механизма под действием сил Р и Q будут уже другими. Точно так же нельзя считать возможным даже бесконечно малое перемещение точки В шатуна вдоль линии BD; оно было бы возможным, если в точке В вместо ползуна была бы качающаяся муфта , т.е когда механизм был бы другим.

Рисунок 33

Таким образом, возможным перемещением системы мы будем называть любую совокупность бесконечно малых перемещений точек системы,

50

допускаемых в данный момент всеми наложенными на систему связями. Возможное перемещение любой точки системы будем изображать элементарным вектором  , направленным в сторону перемещения.

В общем случае для точек и тел системы может существовать множество возможных различных перемещений (перемещения  .и –  мы не считаем разными). Однако для каждой системы, в зависимости от характера наложенных на нее связей, можно указать определенное число таких независимых между собой перемещений, что всякое другое возможное перемещение будет получаться как геометрическая сумма. Например, шарик, лежащий на какой-нибудь плоскости (или поверхности), можно переместить вдоль этой плоскости по множеству направлений. Однако любое его возможное перемещение  можно получить как сумму двух перемещений  и  вдоль лежащих в этой плоскости взаимно перпендикулярных осей ( = +  ).

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Так, рассмотренный выше шарик на плоскости (или на поверхности), если его считать материальной точкой, имеет 2 степени свободы. У кривошипно-шатунного механизма будет, очевидно, одна степень свободы.

У свободной материальной точки – 3 степени свободы (независимыми будут 3 перемещения вдоль взаимно перпендикулярных осей). Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы (независимыми перемещениями будут: 3 поступательных перемещения вдоль осей координат и 3 вращательных вокруг этих осей).

Принцип возможных перемещений.

Введем понятие о так называемой возможной (или виртуальной) работе, т. е. об элементарной работе, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки. При этом, возможную работу активной силы будем обозначать символом А^а

(А^а=F^а scos, где  – угол между направлениями силы и перемещения), а возможную, работу реакции связи - символом А^r.

Ранее было введено важное понятие о системах с идеальными связями: наложенные на систему связи являются идеальными, если сумма элементарных. работ реакций этих связей при любом возможном перемещении системы равна нулю, т. е.

. (1)

51

Рассмотрим систему материальных точек, которая под действием всех приложенных к ней сил и наложенных на нее связей находится в равновесии. Будем при этом все связи системы считать идеальными.

Выделим произвольную точку В_k системы и обозначим равнодействующую всех приложенных к ней активных сил (внешних и внутренних) через , а равнодействующую всех реакций связей (тоже внешних и внутренних) – через . Так как точка В_k вместе со всей системой находится в равновесии, + =О или = - .Следовательно, при любом возможном перемещении точки В_k возможные работы А_k^а и А^r_k приложенных к ней сил и будут равны по модулю и противоположны по знаку и в сумме дадут нуль, т. е.

А_k^а +А^r_k =0.

Повторяя аналогичные рассуждения, мы получим такие равенства для всех точек системы. Складывая эти равенства почленно, будем иметь:

.

Но если наложенные на систему связи являются идеальными, то вторая сумма согласно равенству (1) будет равна нулю. Следовательно, и

(2)

или

Таким образом, мы доказали, что если механическая система с идеальными связями находится в равновесии, то действующие на нее активные силы удовлетворяют условию (2) Справедлив также и обратный вывод, т. е. если приложенные к механической системе активные силы удовлетворяют условию (2), то система находится в равновесии. Отсюда вытекает следующий принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически необходимое и достаточное условие равновесия любой механической системы выражается равенством (2), которое называют ещё уравнением возможных работ.