Кратное начисление процентов

Если начисление процентов происходит несколько раз в году ( ) (ежеквартальное, ежемесячно и т.п.), то по истечении наращенная сумма станет равной:

а) в случае простых процентов:

т.е. наращенная сумма не зависит от кратности начисления.

б) в случае сложных процентов:

(8)

Эффективная ставка в схеме сложных процентов вырастает с увеличением кратности начисления и достигает максимума при непрерывном начислении процентов. При этом эффективная процентная ставка практически на насыщение при , т.е. выше этой кратности начисления рост эффективной процентной ставки резко замедляется.

Непрерывное начисление процентов

Если частота начисления процентов неограниченно возрастает, то имеет место непрерывное начисление процентов. В этом случае по истечении лет наращенная сумма будет равна:

а) в случае простых процентов:

т.е. наращенная сумма остается той же, что и при однократном начислении процентов. Это связано с тем, что при любой кратности начисления процентов начисление производится на исходную сумму пропорционально времени вклада.

б) в случае сложных процентов:

(9)

Процентную ставку в (9) называют также силой роста и обозначают обычно . Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени:

Сравнение наращения по простой и сложной ставкам процента

П

ри одной и той же ставке процента наращение по схеме простых процентов более выгодно для периода наращения менее года. Для периода наращения более года более выгодно наращение по схеме сложных процентов.

I – наращение по схеме простых процентов II ‑ наращение по схеме сложных процентов

Дисконтирование и удержание процентов

Дисконтирование и удержание процентов в определенном смысле являются обратными по отношению к начислению процентов. Различают математическое дисконтирование и банковский учет.

Математическое дисконтирование позволяет узнать, какую исходную сумму нужно вложить, чтобы получить по истечении лет сумму при начислении на процентов по ставке .

В случае простых процентов

(10)

В случае сложных процентов

(11)

В случае непрерывного начисления процентов

(12)

Величина называется приведенным значением величины . Величины и , которые ранее назывались процентными ставками, теперь означают ставки дисконтирования.

Банковский учет – это покупка банком денежных обязательств по цене меньше номинальной, указанной в них суммы.

Примером денежных обязательств может служить вексель – долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определенную денежную сумму (номинал) в определенный срок.

В случае покупки векселя банком говорят, что последний учитывается, а клиенту выплачивается сумма

(13)

где ‑ номинальная сумма векселя;

‑ цена покупки векселя за лет до погашения;

‑ дисконт, или доход банка (процентные деньги).

(14)

где ‑ учетная ставка (как правило, через будем далее обозначать и ставку дисконтирования).

Учетная ставка может быть простой или сложной в зависимость от того, какая схема используется – простых или сложных процентов.

Сумма, которую получит клиент за лет до погашения равна:

в случае простых процентов:

в случае простых процентов: