Задача 3

Вес: 25 баллов

Одна старушка может ежедневно тратить на продукты 600 рублей. При этом она предпочитает покупать только два вида продуктов – ветчину по 300 рублей за килограмм и сыр по 200 рублей за килограмм. Каждый день ее выбор совершенно случаен – отправляясь в магазин, она и сама не знает, сколько ей сегодня захочется купить сыра и ветчины.

В течение дня старушка может скушать некоторое количество сыра (X₁) и ветчины (Y₁), то и другое в граммах. Множество комбинаций этих продуктов ограничивается прямой, имеющей уравнение: Y₁ = 600 – 0,4X₁. То, что не доела старушка, достается ее бульдогу. Бульдог в течение дня может съесть одну из комбинаций продуктов, множество которых ограничивается следующей прямой: Y₂ = 600 – X₂. То, что не доел бульдог, достается коту. Аналогичное уравнение для кота: Y₃ = 400 – 4X₃.

Продукты, которые не доел кот, достаются мышонку, живущему под полом. Мышонку уже безразлично, какие это продукты – сыр или ветчина. Для него главное – это получить некоторое количество грамм еды. Какое минимальное общее количество продуктов (в граммах) может получить мышонок в течение дня?

Подсказка: в этой задаче по аналогии с общей кривой производственных возможностей можно построить общую кривую «потребительских возможностей» (но можно решить и без построения графика).

Решение I (с построением графика)

Y

ветчина

2000

бюджетная линия

1600

кривая

«потребительских

возможностей»

1000

400

0 1500 2400 2600 3000 X

сыр

Сформулируем уравнение бюджетной линии для старушки: 600 = 0,2X + 0,3Y (здесь X – общее количество сыра, Y – общее количество ветчины, то и другое в граммах). Y = 2000 – X. Совместим бюджетную линию с общим графиком «потребительских возможностей»:

Как мы видим, существует интервал потребительских возможностей (1500 ≤ X ≤ 2400; 400 ≤ Y ≤ 1000), на котором старушка, бульдог и кот, вместе взятые, съедают весь объем продуктов, купленных на весь бюджет. Это значит, что в некоторые дни мышонку не остается ничего. Минимальное общее количество продуктов, которое может получить мышонок, равно нулю.

Ответ: 0.

Решение II (без построения графика)

Попробуем доказать пессимистическое предположение о том, что в некоторые дни мышонку не останется ничего. Предположим, существует такой набор продуктов (x, y), купленный на весь бюджет, который полностью съедается старушкой, бульдогом и котом, вместе взятыми.

Поскольку съедается весь сыр, выполняется равенство: X₁ + X₂ + X₃ = x. Вся ветчина также съедается, поэтому: Y₁ + Y₂ + Y₃ = y. Уравнение бюджета: y = 2000 – x. Из условия известно, что Y₁ = 600 – 0,4X₁; Y₂ = 600 – X₂; Y₃ = 400 – 4X₃. Отсюда (600 – 0,4X₁) + (600 – X₂) + (400 – 4X₃) = 2000 – x. – 0,4X₁ – X₂ – 4X₃ = 400 – x.

Таким образом, имеем систему уравнений:

X₁ + X₂ + X₃ = x (1)

– 0,4X₁ – X₂ – 4X₃ = 400 – x (2)

Умножив первое уравнение на и сложив его со вторым, получаем: X₁ = 1500 + 12,5X₃. Из уравнения Y₁ = 600 – 0,4X₁ следует, что старушка не может съесть больше 1500 грамм сыра. То есть выполнение условий, из которых мы исходили, возможно лишь в случае, если X₃ = 0. Итак, X₁ = 1500. Подставив полученные значения X₁ и X₃ в уравнение (1), имеем: 1500 + X₂ = x. X₂ = x – 1500.

X₂ – это количество сыра, которое может съесть бульдог. Из уравнения Y₂ = 600 – X₂ следует, что 0 ≤ X₂ ≤ 900. Отсюда 0 ≤ x – 1500 ≤ 900. 1500 ≤ x ≤ 2400. y = 2000 – x. x = 3000 – 1,5y. 1500 ≤ 3000 – 1,5y ≤ 2400. 400 ≤ y ≤ 1000.

Таким образом, мы доказали, что существует интервал значений (1500 ≤ x ≤ 2400, 400 ≤ y ≤ 1000), при которых набор продуктов, купленный на весь бюджет, полностью съедается старушкой, бульдогом и котом, вместе взятыми. То есть минимальное общее количество продуктов, которое может получить мышонок, равно нулю.

Ответ: 0.