2.3. Расчет емкости металлизации интегральных схем

Металлизация интегральных схем (ИС) – это сеть тончайших проводников, соединяющих отдельные элементы (транзисторы) схемы. Слой металлизации и кристалл ИС разделены тонким слоем диэлектрика. В том случае, когда длина проводника значительно больше его поперечных размеров, можно рассчитать удельную, на единицу длины, емкость.

Рис. 7. Поперечное сечение проводника, соединяющего элементы ИС

23

На рис. 7 приведено поперечное сечение участка ИС. Отрезок AD – поверхность кристалла кремния (контакт K0), прямоугольник AEGD (правая штриховка) – слой первого диэлектрика (относительная диэлектрическая проницаемость ₁), области с двойной штриховкой – второй диэлектрик (относительная диэлектрическая проницаемость ₂), участок с левой густой штриховкой – металлический проводник K1, имеющий большую длину в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, не заштрихованная область – свободное пространство (относительная диэлектрическая проницаемость равна 1).

Емкость проводника

, (24)

где Q – заряд проводника, – его потенциал. Положим потенциал поверхности кристалла ИС (отрезок AD) равным нулю, остальные потенциалы будем отсчитывать от него.

Заряд проводника при известном значении потенциала нетрудно найти, воспользовавшись интегральной формой уравнения Пуассона:

(25)

где  – плотность (на единицу поверхности) заряда в проводнике, – вектор электрического смещения:

. (26)

Здесь =₀ _отн, где ₀ – электрическая постоянная, _отн – относительная диэлектрическая проницаемость среды. Расчет заряда сводится к вычислению потока вектора электрического смещения через контур , окаймляющий проводник:

.

Чтобы вычислить по этой методике заряд проводника, необходимо знать распределение электростатического потенциала. Сформулируем краевую задачу для расчета . Интегральное тождество, описывающее распределение электростатического потенциала в области ABCD, имеет следующий вид:

, (27)

где, как и ранее, – контур, окаймляющий элементарную ячейку.

24

Это тождество справедливо для всех точек области, в которых отсутствует пространственный заряд. (Из области ABCD исключается контакт AD, на котором потенциал равен нулю, и контакт K1 (проводник), потенциал которого ). В точках внешней границы области ABCD используем условие отсутствия полевого взаимодействия с окружающим пространством, т. е.

(28)

на отрезках AB, BC и CD.

Таким образом, задача (27), (28) аналогична задаче, рассмотренной нами ранее в п. 2.1, ее численная реализация выполняется так же. Отметим, однако, следующее обстоятельство. Область ABCD искусственно “вырезана” из интегральной схемы. В принципе силовые линии выходят из всех граничных точек контакта K1 и оканчиваются на контакте K0. Для того, чтобы правильно учесть такую картину поля, область ABCD следует взять достаточно большой. Реально ее берут относительно небольшой, проводят расчет емкости, а затем увеличивают размер области, сохраняя постоянной густоту сетки пространственной дискретизации, и пересчитывают емкость. Можно предположить, что такой процесс будет сходящимся (значение емкости будет стремиться к некоторой конкретной величине), поэтому его можно прервать, когда относительное изменение емкости станет меньше допустимой погрешности (точность расчета емкости).

Таблица 3

№ варианта	L1	L2	H1	H2	H3	1	2
1	7	5	1	2	2	3	5
2	5	7	1	2	4	3	5
3	8	8	2	3	2	5	3
4	7	8	3	4	4	8	2
5	8	3	6	7	5	5	7
6	3	2	6	7	4	8	5
7	6	15	5	6	2	5	8
8	5	4	5	6	3	3	6
9	9	13	6	5	2	4	9
10	4	5	7	5	2	3	6

Задание: рассчитать емкость конденсатора, конструкция которого приведена на рис. 7, для вариантов из таблицы 3. В этой таблице использованы следующие обозначения: L1 – длина отрезка IJ, L2 – длина отрезка JK, H1 – длина отрезка DG, H2 – длина отрезка FG, H3 – толщина выступающей части проводника К1. Все размеры даны в микрометрах. Электрическая постоянная ₀ = 8,854210^-12 ф/м.

25