1.2. Аксиомы статики

 

            Аксиомы статики – это законы, установленные непосредственными наблюдениями и опытной проверкой следствий, логически вытекающих из аксиом.

            Аксиома 1. Система двух сил, действующих на свободное твердое тело, является уравновешенной тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны.

            На рис. 1.2 показаны две уравновешенные системы сил:

 ~ 0;     ~ 0.

            

            Аксиома 1 дает необходимые и достаточные условия уравновешенности системы двух сил, две следующие аксиомы устанавливают простейшие операции, приводящие к эквивалентным системам сил.

            Аксиома 2. Если к данной системе сил добавить или отнять от нее уравновешенную систему сил, то полученная система сил будет эквивалентна исходной.

            Из этой аксиомы вытекает следствие: «Действие силы на твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль линии ее действия».

            Для доказательства следствия рассмотрим силу  , приложенную в точке A (рис. 1.3,а). В точке B на линии действия силы  приложим уравновешенную систему сил  , где  . Тогда в соответствии с аксиомой 2 получим  ~   (рис. 1.3,б). Согласно аксиоме 1 система сил   ~ 0, а согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис. 1.3,в), т.е.   ~   ~  , что и доказывает следствие.

 

            Таким образом, сила, приложенная к абсолютно твердому телу, является скользящим вектором.

            Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Система двух сил, приложенных к телу в одной точке, имеет равнодействующую, приложенную в той же точке и равную геометрической сумме сил.

            Эта аксиома не только устанавливает существование равнодействующей рассматриваемой системы сил  ~   (рис. 1.4), но и дает правило ее определения:  . Модуль равнодействующей

.

            Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

            Силы взаимодействия двух тел удовлетворяют всем условиям аксиомы 1, кроме одного – они приложены к разным телам (рис. 1.5), и поэтому не образуют уравновешенную систему сил.

 

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела не нарушится, если тело станет абсолютно твердым.

            Другими словами, при равновесии деформируемого тела силы, действующие на него, удовлетворяют тем же условиям, что и для абсолютно твердого тела, но эти условия для деформируемого тела будут только необходимыми, не являясь достаточными.

            Рассмотрим в качестве примера деформируемого тела нить, которая находится в равновесии под действием двух сил   и  , приложенных к ее концам, как показано на рис. 1.6,а. В соответствии с аксиомой 1 эти силы должны действовать вдоль одной прямой (вдоль нити) в противоположные стороны и иметь одинаковые модули. Для того, чтобы эти условия стали достаточными, к ним следует добавить еще одно: силы, действующие на нить, должны быть растягивающими. При тех же условиях абсолютно твердое тело – стержень (рис. 1.6,б) будет находиться в равновесии под действием как растягивающих, так и сжимающих сил.

32

 Сложение двух сил. Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости. Сло­жение системы сил. Понятие о геом сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, поскольку не всегда есть равнодействующая.

^ Сложение 2х сил. Геом сумма 2х сил F₁ и F₂ находится по правилу пар-ма или построением силового треугольника. # Сложение 3х сил, не лежащих в одной пл-ти – геом сумма сил F₁,F₂, F₃ не лежащих в одной пл-ти изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах.

Разложение сил. Разложить данную силу на несколько составляющих значит найти такую систему сил, для к-й данная сила является равнодействующей.

Система сил, линии действия которых пе­ресекаются в одной точке, называется сходя­щейся (рис. 2.1).

Необходимо определить равнодействую­щую системы сходящихся сил (F1; F2; F3; …; Fn), n — число сил, входящих в систему. игровые автоматы играть бесплатно

По следствию из аксиом статики, все си­лы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными в одной точке.

Рис. 2.1

Равнодействующая сходящихся сил

Равнодействующую двух пересекающихся сил можно опреде­лить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я ак­сиома) (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Используя свойства векторной суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил (рис. 2.3). Вектор равнодействующей силы соединит начало первого вектора с концом последнего.

При графическом способе определения равнодействующей век­торы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.

Рис. 2.3

Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил-слагаемых. Такой способ получения равнодействующей называют геометрическим.

33

Кинема́тика точки  — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей:

• Тело отсчета;

• Систему измерения положения тела в пространстве (систему координат);

• Прибор для измерения времени (Часы).

Положение точки определяется набором обобщенных координат — упорядоченным набором числовых величин, полностью описывающих положение тела. В самом простом случае это координаты точки (радиус-вектора) в выбранной системе координат. Наиболее наглядное представление о радиус-векторе можно получить вевклидовой системе координат, поскольку базис в ней является фиксированным и общим для любого положения тела.

34

К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное и вращательное.

Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, взятая в теле, остается параллельной своему начальному положению.

Теорема. При поступательном движении все точки твердого тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени равные скорости и ускорения.

Вращательным называется движение твердого тела, при котором все точки некоторой прямой, связанной с телом, остаются неподвижными во время движения. Эта прямая называется осью вращения.

(рис. 2.2.1)

Положение тела определено, если задан угол между плоскостями и , проходящими через ось вращения ( с единичным направляющим вектором ) (рис. 2.2.1) . Плоскость неподвижна, а плоскость жестко связана с телом. Угол измеряется в радианах и изменяется с течением времени, – уравнение вращательного движения твердого тела.

Угловая скорость характеризует изменение угла поворота с течением времени.

Угловое ускорение – характеризует быстроту изменения угловой скорости.

Если угловая скорость постоянна, то вращение называется равномерным и происходит по закону .

Если угловое ускорение постоянно, то вращение называется равнопеременным и происходит согласно уравнениям:

, .

Модули скорости, ускорения, касательного, нормального ускорений точки вращающегося тела, находящейся на расстоянии от оси вращения, определяются по формулам:

… …

Ускорение точки составляет угол с направлением нормали, при этом

35

Динамика — раздел теоретической механики, в котором уста­навливается связь между движением тел и действующими на них силами. В динамике решают два типа задач:

• определяют параметры движения по заданным силам;

• определяют силы, действующие на тело, по заданным кине­матическим параметрам движения.

При поступательном движении все точки тела движутся одина­ково, поэтому тело можно принять за материальную точку. Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его тоже можно рассматривать как материальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела. При вращательном движении тела точки могут двигаться не­одинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рас­сматривать как совокупность материальных точек. Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику материальной системы. Аксиомы динамики Законы динамики обобщают результаты многочисленных опы­тов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматри­вать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и , четвертый законы были известны Галилею. Механику, основанную на этих законах, называют классической механикой. Первая аксиома (принцип инерции) Всякая изолированная материальная точка находится в стоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, приложенные силы не выведут ее изэтого состояния. Это состояние называют состоянием инерции. Вывести из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, внешняя сила. Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела. Массой называют количество вещества в объеме тела, в классической механике ее считают величиной постоянной. Единица измерения массы — килограмм (кг). Вторая аксиома (второй закон Ньютона — основной закон динамики) Зависимость между силой, действующей на материальную точку, и сообщаемым ею ускорением следующая: F = та, где т — масса точки, кг; а — ускорение точки, м/с². Ускорение, сообщенное материальной точке силой, nponoрционально величине силы и совпадает с направлением силы. Основной закон динамики в дифференциальной форме: На все тепа на Земле действует сила тяжести, она телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли: G = mg, где g = 9,81 м/с², ускорение свободного падения.  Третья аксиома (третий закон Ньютона) Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направлены по одной прямой в разные стороны (рис. 13.1): При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны мас­сам. Четвертая аксиома (закон независимости действия сип) Каждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна. Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометриче­ской сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельно­сти.

36

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы.

Работой A, совершаемой постоянной силой   называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус углаα между векторами силы   и перемещения   (рис. 1.18.1): 

A = Fs cos α.

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж).

Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в направлении действия силы.

Рисунок 1.18.1. Работа силы  : A = Fs cos α = Fss.

Если проекция   силы   на направление перемещения   не остается постоянной, работу следует вычислять для малых перемещений Δs_i и суммировать результаты: 

Это сумма в пределе (Δs_i → 0) переходит в интеграл.

Графически работа определяется по площади криволинейной фигуры под графиком F_s(x) (рис. 1.18.2).

Рисунок 1.18.2. Графическое определение работы. ΔAi = FsiΔsi.

Примером силы, модуль которой зависит от координаты, может служить упругая сила пружины, подчиняющаяся закону Гука. Для того, чтобы растянуть пружину, к ней нужно приложить внешнюю силу   модуль которой пропорционален удлинению пружины (рис. 1.18.3).

Рисунок 1.18.3. Растянутая пружина. Направление внешней силы   совпадает с направлением перемещения  . F = Fs = kx, k – жесткость пружины.

Зависимость модуля внешней силы от координаты x изображается на графике прямой линией (рис. 1.18.4).

Рисунок 1.18.4. Зависимость модуля внешней силы от координаты при растяжении пружины.

По площади треугольника на рис. 1.18.4 можно определить работу, совершенную внешней силой, приложенной к правому свободному концу пружины: 

Этой же формулой выражается работа, совершенная внешней силой при сжатии пружины. В обоих случаях работа упругой силы   равна по модулю работе внешней силы   и противоположна ей по знаку.

Если к телу приложено несколько сил, то общая работа всех сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами и равна работе равнодействующей приложенных сил.

Модель. Механическая работа.

Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность N это физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа: 

В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт (Вт). Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.