Лекция № 1

§1. Введение.

Первые вероятностные задачи появились из практики азартных игр, причем, их решением занимались известные математики. Решим простую задачку. Бросают три игральные кости. Что вероятнее: получить в сумме выпавших очков 11 или 12? Существует следующая легенда: однажды к Галилею за консультацией обратился рыцарь именно с таким вопросом. Он заявил Галилею, что согласно логике, обе эти суммы должны появляться одинаково часто, но опыт учит другому, что сумма 11 появляется чаще, чем 12. Почему? Обоснование рыцаря на первый взгляд звучит убедительно: числа 11 и 12 могут быть разложены на сумму трех слагаемых лишь шестью способами:

11=1+5+5=1+4+6=2+3+6=2+4+5=3+3+5= 3+4+4;

12=1+5+6=2+4+6=2+5+5=3+4+5=3+3+6=4+4+4;

отсюда, по его мнению, вытекает равновозможность обоих событий.

Однако Галилей возразил ему, сказав, что каждое из этих разложений следует снабдить еще определенным весом, и пояснил свою мысль таким рассуждением. Назовем кости «первой», «второй» и «третьей»; тогда разложение 1+5+5 на самом деле может произойти не одним, а тремя различными способами:

1+5+5=5+1+5=5+5+1,

т.е., единица может выпасть на первой, второй или третьей кости. Точно также разложение 1+4+6 может произойти шестью различными способами:

1+4+6=1+6+4=4+1+6=4+6+1=6+1+4=6+4+1.

Таким образом, 11 в сумме может появиться не шестью, а 27 различными равновозможными способами. Сумма же 12, оказывается, разлагается лишь 25 различными способами. Дело в том, что разложение 4+4+4 осуществимо лишь одним способом. Позже посчитаем вероятности выпадения этих сумм.

Есть гораздо более важные проблемы, которые приходится решать в практической деятельности. Сколько дорожных происшествий произойдет завтра в городе? Сколько вызовов от больных поступит в скорую помощь? Сколько лет проживет только что родившийся ребенок? Как много времени придется затратить на поиск неисправности в сложном техническом устройстве? Все эти вопросы обладают одной особенностью – на них невозможно дать однозначного ответа, поскольку процессы с ними связанные лишены полной определенности. Во всех подобных случаях мы говорим, что интересующее нас событие является случайным.

Со случайными явлениями мы вынуждены сталкиваться постоянно, и, зачастую, именно они определяют структуру интересующего нас процесса. Так, при организации работы телефонной станции, необходимо учитывать, что моменты поступления вызовов от абонентов и длительность разговоров случайны. В грузовой морской порт суда дальнего плавания прибывают не точно по расписанию, а в моменты времени, сильно отличающиеся от запланированного и время обработки судна (погрузочно-разгрузочные работы) зависят от многих факторов и не может быть точно определено заранее. Случайные события играют большую роль, как в научных исследованиях, так и в практической деятельности. Более того, при проектировании ответственных сооружений мы должны опираться на эти случайные явления. Это обстоятельство привело к тому, что за последние три столетия случайные явления были подвергнуты систематическому исследованию.

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности массовых случайных явлений. Объект изучения – математическая модель случайного явления. Метод изучения – формальная математическая логика.