3. Поняття про спотворення картографічних зображень.

Види спотворень.

Географічна карта в математичному відношенні повинна задовольняти трьом основних умовам:

1. Безперервність - географічна карта повинна являти собою безупинне зображення без розірвань сферичної поверхні глобуса (фізичної поверхні Землі).

2. Однозначність - кожній точці на поверхні референц-еліпсоїда повинна відповідати одна єдина точка на карті.

3. Кінцевість - будь-який елемент поверхні референц-еліпсоїда, тобто материки, моря, ріки, гори, населені пункти, що зображуються на карті вимірюються скінченими величини.

Маючи у виді ці умови, роздивимося як виникають на картах спотвореня.

Обриси материків, морів і інших геометричних фігур показують, що на карті виникають такі види спотворень: спотворень довжин ліній (відстаней); спотворень площ; спотвореня напрямків; спотвореня форм.

1. Спотвореня довжин.

Вище ми роздивилися, що при зображенні земної кули на площині утворюються спотвореня і масштаб карти при переході з однієї точки карти в другую змінюється і навіть розрізнений у різних напрямках. Головний або загальний масштаб установлює загальне зменшення всіх эллементов земної поверхні при переході на карту. Якщо головний масштаб ми приймаємо за 1, то відхилення приватних масштабів від 1 буде характеризувати розмір спотвореня на карті. Частний масштаб будет залежати від координат (φ і λ) і азимута. Головний масштаб ми позначаємо буквою "М", а приватний – “м”. При визначенні спотворень у тієї чи іншої точки показник максимальних спотворень позначають буквою а, а найменший – буквою b. Кут між параллелю та меридіаном виміряним по карті позначають буквою θ (на глобусі він завжди дорівнює 90)

2. Спотвореня площ

Якщо спотворюються відстані, то спотворюються і площі відповідно. Масштаб площ розрізняють також: головний і приватний. Якщо спотворень відстані нема, то й площа не спотворююється: тобто Р = 1 коли М = 1, тому що Р = М · М = 1· 1 = 1,0.

Масштаб площі дорівнює відношенню ділянки площі карти до площі глобуса відповідно, тобто Р = Р_к/Р_гл.

Якщо сторони параллелограмма (квадрата) збігаються з напрямком меридіанів і паралелей, то площа дорівнює Р = m · n · sin 90.

Якщо сторони квадрата збігаються з головними напрямками, то: Р = а·в і при зображенні квадрата на карті одержимо теж квадрат або прямокутник, тому що головні напрямки перпендикулярні, а sin 90 = 1.

3. Спотвореня напрямків (спотворення кутів)

Спотвореня напрямків - різниця між азимутами на карті і відповідних азимутах на глобусі. А спотвореня кутів - це різниця між розміром куту на карті і відповідного йому куту на глобусі. За показник спотворення приймають різницю виміряного кута між меридіаном та параллелю на карті та прямого кута (тобто 90): ε=θ-90

За загальний показник спотворення (ω) кута приймають максимальне спотворення кута в данній точці, воно розраховується по формулі:

sin ω/2 = a-b/a+b

4. Спотвореня форм

Спотвореня форм - коли масштаби по основних напрямках не рівні (головним напрямкам). У якості показника спотвореня форм приймається до відношення: К=а/в. Якщо а=b, то К = 1. Чим більше К відрізняється від 1, тим більше спотвореня форм, тим більше витягнутий (або стиснутий) еліпс перекручувань. Спотвореня форм об'єктів завжди пов'язано з спотвореням кутів і кожний показник К відповідає визначеній величині ω.

Еліпс спотвореня

Щоб з'ясувати розмір і характер спотворень у якийсь точці проекції (на карті), у математичній картографії користуються еліпсом спотворень (указательница).

У будь-який картографічній проекції є точки або лінії, на котрих немає спотворень. Розміщення на картах точок і ліній нульових спотворень може бути по-різному. Швидкість наростання спотворень із видаленням від точок і ліній нульових спотворень може бути неоднаковим і змінюватися по різних напрямках.

На картографічних проекціях (картах) нескінченно мала окружність завжди зобразиться нескінченно малим еліпсом. Розміри і ступінь витянутости цього еліпса в порівнянні з колом, з якої він утворився, чітко відбивають усі види спотворень, властиві карті в даному місці, тобто спотвореню довжин, площ, кутів і форм.

Тобто еліпс спотворень це зображення на карті будь-якої проекції нескінченно малого кола, узятого на глобусі того ж масштабу, причому радіуси - вектори еліпса вимірюються радіусом цього кружка, узятого в головному масштабі.

Изоколи

Изоколи - лінії, що з'єднують на карті всі точки з однаковими спотворенями. Розрізняють изоколи довжин, изоколи кутів і изоколи площ. Для різних картографічних проекцій изоколи мають різну форму: коло, овали, прямі і криві лінії. Вони завдаються на картографічній сітці за даними обчислень спотворень (m, n, p, w).

Оцінка розмірів спотворень у межах карти.

Кількісні значення показників перекручувань тієї або іншої точки можна визначити такими засобами:

1. по формулах математичної картографії. На підставі вимірів на карті визначаються значення масштабів по меридіанах і паралелям m и n и спотвореня куту між меридіаном і паралеллю - ε. Користуючи формулами визначають:

• масштаби довжин по головних напрямках а, b, масштаб площ Р, найбільше спотвореня кутів ω і спотвореня форм - К.

• спотвореня площ спотвореня довжин спотвореня кутів: Р = m*n*cosε

• спотвореня форм: К=а/в

• азимут першого головного напрямку, уздовж якого збільшена "а": tg2b=2cos θ/ctgv-tgv

• азимут головного напрямку на карті: tgb=tgb-tgm; tgv=n/m; ctgv=m/n

• приватний масштаб по будь-якому напрямку:

• кут між двома напрямками на карті.

• Значення найбільшого спотвореня напрямку: tgα=b/a

• кут між двома напрямками в натурі (на глобусі)

2. по номограмах (Г.А.Гинсбурга) - а, b, р, ω, K.

3. по таблицях спотворень, розрахованим для кожної проекції.

4. По нанесеним изоколам масштабу площ - р і изоколам.

Розмір і розподіл перекручувань довжин, кутів і площ є основною ознакою для визначення гідності проекції.

От чому при розгляді тієї або іншої картографічної проекції необхідно зазначити розміри спотворень і розподіл їх на карті. При цьому в якості критерію для оцінки гідності проекції ставлять умову, щоб крайні спотвореня в межах зображеної області були мінімальними.