Учет ошибок округления

Большинство погрешностей работы цифровых фильтров связано с двумя случаями, связанными с округлением.

Первый случай связан с округлением коэффициентов фильтра, подобных приведенным на рис 6 и 7, которые вычислены на компьютере с высокой точностью арифметики, а после применены в аппаратуре цифрового фильтра с типичной разрядностью 16 битов. Как было ранее сказано, округление дает лучшие результаты, чем отбрасывание младших битов, но не избавляет от проблемы полностью.

Второй случай связан с конечной точностью операций умножения-сложения. Ошибки, появляющиеся от этого варианта, более значимы, особенно в фильтрах высокого порядка.

Выбор соответствующей разрядности для исключения таких ошибок имеет варианты. В общем, если проект требует ослабления более 67 dB в полосе задержания или пульсаций менее 0.05dB, разрядности в 16 битов недостаточно. В этих случаях нужно использовать 24 битовые, а иногда и 32 битовые слова. Оценить и выбрать разрядность операндов лучше после компьютерного моделирования фильтра, и лишь потом проектировать аппаратуру фильтра.

Для иллюстрации важности учета ошибок округления на рис.11 сравниваются реализации фильтра с 27 узлами для операндов с разрядностью 16 и 32 бита. В этом случае ошибки почти незаметны, однако при увеличении порядка фильтра до 90, они растут катастрофически, что показано на рис.12. Для ослабления более 80 dB в полосе задержания при числе узлов 90 нужно существенно больше разрядов в операндах, чем 16.

Рис 11. Компьютерное моделирование отклика КИХ ФНЧ с 27 узлами при использовании 32 разрядной (а) и 16 разрядной (б) арифметики.

Рис 12. Компьютерное моделирование отклика КИХ ФНЧ с 90 узлами при использовании 32 разрядной (а) и 16 разрядной (б) арифметики.

Компьютерное моделирование

На рис.13 показана типичная программа для симуляции фильтров на компьютере с большой разрядностью. Фирма Analog Devices предоставляет написанную на фортране программу для моделирования 16-разрядных КИХ фильтров с использованием микросхем ADSP=1010 с 16х16 разрядным умножителем-сумматором. Она называется «FIR 16-bit simulation program» (Программа симуляции 16 разрядных КИХ фильтров).

При моделировании выполняются те же действия, что и в реальной аппаратуре фильтра. Вначале получают коэффициенты фильтра h(n) по алгоритму обмена Ремеза, производится проверка переполнений и масштабирование коэффициентов, и в результате формируются записываемые в ПЗУ коэффициенты, в формате с фиксированной или с плавающей точкой и разрядностью 16.

Далее программа формирует массив x(n) значений входного сигнала, соответствующих выходным кодам АЦП, которые в аппаратной реализации будут размещены в ОЗУ. Число данных в этом массиве соответствует числу узлов фильтра. Обычно симуляция начинается с синусоидального сигнала частотой 0 Hz, а затем частота его увеличивается.

Арифметические операции блока умножения-сложения точно симулируются, что достигается снижением разрядности операндов компьютера до аппаратного ограничения (16 битов). В фортране, например, это получается сменой типа данных с INTEGER*4 на INTEGER*2.

Программа симуляции также учитывает переполнения аккумулятора для проверки правильности ранее произведенного масштабирования коэффициентов. При появлении переполнения необходимо повторить масштабирование и перезапустить симуляцию.

Далее программа вычисляет значения на выходе фильтра y(n) в соответствии с уравнением 2. Для каждого входного значения синуса вычисляется N значений массива y(n), где N – число узлов фильтра.

Далее определяется усиление на выходе фильтра, а соответственно и передаточная функция фильтра, выбором наибольшего по модулю значения из массива y(n). Это обычно близко к реальному коэффициенту передачи (усилению) фильтра. Но если требуется улучшить качество симуляции, можно пропустить N значений массива y(n) через алгоритм формирования кривой, в результате чего получается сигнал во времени y(t).

Частота сигнала на входе изменяется о постоянного тока (синусоида с частотой 0 Hz) до нормализованной частоты 0,5 по теореме Котельникова (критерию Найквиста) с шагом в 0,001 по нормализованной шкале. Результат в виде графика симулирует передаточную функцию фильтра. Если результаты моделирования удовлетворяют требованиям, можно приступать к аппаратной реализации фильтра.

Фрагмент статьи указанных авторов опубликованной в

EDN, March 3, 1983 by Cahners Publishing Company,

Division of Reed Holdings, Inc.

Терминология

Английский термин	Русский эквивалент	Пояснение
Magnitude	Уровень	Уровень сигнала
Attenuation	Ослабление	Снижение уровня выходного сигнала по отношению к уровню входного сигнала
Cutoff frequency	Частота среза	Частота, на которой отклик фильтра падает ниже заданного значения пульсаций (1-δ1)
Pass-band	Полоса пропускания	Диапазон частот, в котором ослабление сигнала не превышает заданного значения.
Stop-band	Полоса задержания	Диапазон частот, в котором сигнал подвергается ослаблению
Stop-band attenuation	Ослабление в полосе задержания	Минимальное ослабление в полосе задержания
Pass-band ripple	Пульсации в полосе задержания	Максимальное отклонение от желаемого уровня в полосе задержания
Sampling rate	Частота выборок	Частота, с которой происходит выборка значений входного сигнала
Filter coefficients	Коэффициенты фильтра	Числа, представляющие обратное преобразование Фурье передаточной функции фильтра. Коэффициенты определяют характеристики фильтра и являются основой для проектирования фильтра.
Taps	Узлы	Численно равно количеству выбранных входных значений, обрабатываемых фильтром для получения очередного выходного значения. Численно равно также числу коэффициентов фильтра. Пригодно для оценки задержки фильтра.