Дублююча система з відновленням

Нехай є система з однакових елементів: одного основного і одного резервного. Резервний елемент підключається постійно або способом заміщення при відмові основного за допомогою ідеального перемикача. Після виявлення відмови (вважаємо контроль працездатності ідеальним) непрацездатний елемент негайно відключають і направляють у ремонтний підрозділ, звідки після відновлення працездатності знову повертають у систему і включають у роботу, якщо основний елемент відмовив, або залишають у резерві.

Внаслідок того, що елементи ідентичні з погляду надійності, система має всього три стани. Присвоюючи кожному з них номер, рівний числу непрацездатних елементів, одержуємо розмічений граф станів системи (рис. 5.7).

Рис. 5.7

Вважаючи, що інтенсивність відмов і відновлень одного елемента постійна, одержуємо Марківську модель із постійними інтенсивностями переходів , , , що залежать від числа працездатних елементів, режиму резервного елемента і числа бригад у ремонтному підрозділі.

Знайдемо ймовірність безвідмовної роботи середній наробіток до відмови і коефіцієнт готовності системи, використовуючи наведену вище загальну методику.

У графі станів (див. рис. 5.7) непрацездатним є стан 2. Будемо вважати цей стан поглинаючим і заборонимо перехід із стану 2 у стан 1 з інтенсивністю . Враховуючи це і використовуючи загальну формулу (5.35),отримаємо наступну систему диференціальних рівнянь:

(5.43)

Початкові умови: ; .

Застосувавши до системи (5.43) перетворення Лапласа, одержуємо систему алгебраїчних рівнянь:

;

;

вирішивши яку знаходимо:

;

.

Перетворення Лапласа шуканої імовірності визначається сумою:

, (5.44)

Переходячи від виразу (5.44) до оригіналу за допомогою таблиць для перетворення Лапласа [23] ,отримаємо формулу імовірності безвідмовної роботи системи:

, (5.45)

де

.

Остаточну розрахункову формулу для ймовірності можна отримати, якщо підставити у вираз (5.45) значення , що відповідають різним режимам резервного елемента.

При навантаженому резерві

, , (5.46)

при полегшеному резерві

, , (5.47)

при ненавантаженому резерві

, (5.48)

де - інтенсивність відмови основного елемента;

- коефіцієнт завантаженості резерву ( , ).

Оскільки - інтенсивність переходу зі стану 1 у стан 0, то , де - інтенсивність відновлення елемента, що відмовив.

Відзначимо, що зі збільшенням числа резервних елементів ( ) завдання знаходження точної формули для стає дуже складним через труднощі застосування перетворення Лапласа. У цих умовах звичайно використовують наближену формулу

, (5.49)

похибка якої знижується із збільшенням і зменшенням відношення .

Тепер знайдемо середній наробіток системи до відмови. Використовуючи формулу (5.42) з врахуванням виразу і графа переходів (рис. 5.7), отримаємо:

або ,враховуючи, що , визначаємо

. (5.50)

Підставивши у формулу (5.50) значення , для різних режимів резервного елемента (вирази 5.46-5.48)і враховуючи, що , отримаємо:

для навантаженого резерву ; (5.51)

для полегшеного резерву ; (5.52)

для ненавантаженого резерву , (5.53)

де .

Коефіцієнт готовності системи визначається за формулою (5.40) із врахуванням виразу (5.39) та графа станів (рис. 5.7):

, (5.54)

Де , .

Підставивши значення і у формулу (5.54), запишемо:

. (5.55)

У формулі (5.55) інтенсивність переходу визначається станом системи:

- при одній ремонтній бригаді (обмежене відновлення);

2 - при двох ремонтних бригадах (необмежене відновлення).

=

Значення і для різних режимів резервного елемента знаходять із виразів (5.46)….(5.48), знаючи, що .

У табл. 5.2 наведені формули для розрахунку коефіцієнтів готовності

Таблиця 5.2.

Число ремонтних бригад	Режими резервного елемента
	навантажений	полегшений	ненавантажений
Одна (обмежене відновлення)
Дві (необмежене відновлення)

Оцінимо виграш у надійності за рахунок резервування з відновленням. Нехай (резерв навантажений), ·1/год, ·1/год. Тоді . За формулою (5.53) одержимо:

год.

Коефіцієнт виграшу в надійності

.

З наведеного розрахунку випливає, що виграш у середньому наробітку до відмови резервованої системи з відновленням істотно більший, ніж системи без відновлення (в останній для аналогічного випадку ).

Таким чином, резервування з відновленням - ефективний метод забезпечення необхідного рівня надійності складних систем.

Розрахунки основних показників надійності резервованих систем з відновленням і без відновлення для різних випадків, що зустрічаються на практиці, наведені в [14].