1. Неопределенный интеграл.
1. Понятие первообразной функции. Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов.
2. Интегрирование подстановкой и по частям
2. Комплексные числа. Алгебра многочленов.
Интегрирование в элементарных функциях.
3. Комплексные числа. Многочлены, корни многочленов. Кратные корни. Признак кратности корня.
4. Выделение кратных корней. Алгоритм Евклида деления многочлена на многочлен. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших.
Интегрирование рациональной дроби
3. Определенный интеграл.
6. Интегральные суммы. Верхние и нижние интегральные суммы.
7. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Свойство равномерной непрерывности функций. Интегрируемость непрерывных функций. Интегрируемость некоторых разрывных функций.
8. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Формулы среднего значения.
9. Существование первообразной для непрерывной функции. Основная формула интегрального исчисления. Замена переменной под знаком интеграла.
4. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
10. Длина дуги кривой. Примеры.
11. Площадь плоской фигуры. Примеры.
12. Объемы тел. Площадь поверхности вращения.
13. Физические приложения: масса и центр тяжести, работа силы.
5. Функции нескольких переменных.
14. Понятие функции нескольких (2 и 3) переменных. Понятие m-мерного координатного пространства. Понятие функции m переменных.
15. Предельное значение функции нескольких переменных.
16. Непрерывные функции нескольких переменных.
17. Частные производные функций нескольких переменных.
18. Дифференциалы функций нескольких переменных. Градиент.
19. Частные производные высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
20. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
6. Теория неявных функций и ее приложения.
21. Понятие о неявной функции. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции.
22. Неявные функции, определяемые системой функциональных уравнений. Взаимно однозначное отображение двух множеств m-мерного пространства.
23. Зависимость функций. Якобиан.
24. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
Рекомендуемая литература
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., Наука, 1965.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., Наука, 1969.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., Наука, 1967.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. СПб., Мифрил, 1995.
А.М.Тер-Крикоров, М.И.Шабунин. Курс математического анализа, М., МФТИ, 1997.
6. Вавилов В.В., Мельников И.И. и др. Задачи по математике. Начала анализа: справочное пособие. М., Наука, 1990.
Таблица неопределенных интегралов некоторых функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9
10.
11.
12.
Контрольное задание
Вариант 1.
Найти:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Найти площадь фигуры, заданной неравенством:
1.1.
1.2.
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
и
касательными к этой параболе, проведенными
из начала координат.
касательной
к графику этой функции в точке
и прямыми
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
и прямыми
Фигура ограничена графиком функции
и прямыми
Под какими углами к оси ОХ надо провести
прямые через точку (0; 0), чтобы они разбили
фигуру на три равновеликие части?
Вариант 2
Найти:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Найти площадь фигуры, заданной неравенством:
1.1
1.2.
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции:
2.1.
и касательными к графику этой функции
в точках (1; 1/2) и (4; 2);
2.2.
и касательной к графику функции
в точке (1; 3);
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
и прямыми
Фигура ограничена графиком функции
и прямыми
Под какими углами к оси ОХ надо провести две прямые через точку (0; 9), чтобы они разбили фигуру на три равновеликие части?
Вариант 3
Найти:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
;
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
1) y=x2 и y=x+2; 2) y=x2-2x+3 и y=3x-1; 3) y=x2 и y=1+3x2/4;
4)
y=2/x
и y=-x/2-5/2;
5) y=(6x2-x4)/9
и y=1;
6) y=x3
и
7)
и y=x2
; 8)
и y=0;
9)
и
10)
и
Рабочая программа по курсу «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
Лектор: Сахаров Я.А.