Властивості операцій над множинами

1. А В = В А – комутативність об’єднання

(переставний закон)

А В = В А – комутативність перетину

(переставний закон)

2. А (В С) = (А В) С – асоціативність об’єднання

(сполучний закон)

А (В С) = (А В) С – асоціативність перетину

(сполучний закон)

3. А – дистрибутивність (розподільний закон)

4.

5. Ø =А

4. Ø= Ø

6. (якщо А В)

4. 7. (якщо А Ø; В Ø; С Ø)

Х У

Доведення: =

І Доведемо, що Х У. Нехай довільний елемент х Х х

ІІ. Доведемо, що . Нехай , А\С

(Х У і У Х) Х = У

На кругах Ейлера:

А В А В

С С

Теоретико-множинне тлумачення операцій над натуральними числами пов’язано з відповідними операціями над множинами.

Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел

Аксіоматичним методом називають метод побудови наукової теорії, який передбачає вибір якихось положень теорії в якості вихідних (аксіом) і виведення всіх інших її положень із цих вихідних чисто логічним шляхом, за допомогою доведень.

Аксіоматична побудова математичної теорії починається з переліку об’єктів, що вивчаються в цій теорії і деяких відношень між ними. Ці об’єкти і відношення називаються основними поняттями даної теорії. Всі інші поняття, не включені до списку основних, повинні бути строго означені.

Крім основних понять і відношень формулюються основні твердження, в яких дається опис відношень між основними поняттями. Їх називають аксіомами і приймають у даній теорії без доведення, а всі інші твердження – теореми - доводяться на основі аксіом і раніше доведених теорем.

Система аксіом має бути несуперечною, незалежною і повною.

Перша спроба аксіоматичної побудови у ІІІ ст. до н.е. належить Евкліду (на геометричному матеріалі). Італієць Джузеппе Пеано в 1891 р. створив систему аксіом для арифметики.

Основним поняттям у теорії Пеано є відношення “безпосередньо слідувати за”. Елемент, що безпосередньо слідує за елементом а, позначається а.

Смисл відношення “безпосередньо слідувати за” розкривається в наступних аксіомах:

Аксіома 1 У множині N існує елемент, який безпосередньо не слідує ні за яким елементом множини. Називають його одиницею.

Аксіома 2 Для кожного елемента aN існує тільки один елемент а, що безпосередньо слідує за а.

Аксіома 3 Для кожного елемента aN існує не більше одного елемента, за яким безпосередньо слідує а.

Аксіома 4 (Аксіома індукції). Нехай множина М є підмножиною множини N і відомо, що:

1) одиниця міститься в М;

2) з того, що а міститься в М, випливає, що і а міститься в М.

Тоді множина М співпадає з множиною N.

Спираючись на введене відношення “безпосередньо слідувати за” і аксіоми 1-4, можна дати означення натурального числа:

Множина N, для елементів якої встановлено відношення “безпосередньо слідувати за”, що задовольняє аксіомам 1-4, називається множиною натуральних чисел, а її елементи – натуральними числами.

Додаванням натуральних чисел називається алгебраїчна операція, визначена на множині N натуральних чисел із властивостями:

1) ( аN) а + 1 = а; 2) ( а; bN) а + b=(а + b).

Число (a + b) називається сумою чисел а і b, а самі ці числа – доданками.

Справедливі теореми:

Теорема 1 Сума натуральних чисел існує і єдине.

Теорема 2 Додавання натуральних чисел комутативне.

Теорема 3 Додавання натуральних чисел асоціативне.

Теорема 4 ( а; bN) а + b  b.

Добутком натуральних чисел а і b називається алгебраїчна операція, визначена на множині N натуральних чисел із властивостями:

1) ( аN) а·1=а; 2) ( а; bN) a·b=ab + a.

Для добутку натуральних чисел справедливі теореми, аналогічні теоремам 1-3 та правий і лівий дистрибутивні закони множення відносно додавання:

( а; b; cN) (a + b)·c = ac + bc

( а; b; cN) a·(b + c) = ab + ac

Різницею натуральних чисел а і b називають таке натуральне число

c = a – b, яке задовольняє умові b + c = a.

Часткою натуральних чисел а і b називають таке натуральне число

c = a:b, яке задовольняє умові b·c = a.

Множина невід’ємних цілих чисел N₀ є об’єднанням множини натуральних чисел N і нуля.

Нуль можна ввести, змінивши формулювання аксіом 1 і 4:

Аксіома 1. У множині N₀ існує елемент, який безпосередньо не слідує ні за яким елементом цієї множини. Його називають нулем і позначають 0.

Аксіома 4 Якщо М є підмножиною множини N₀ і: 1) 0М; 2) з того, що аМ випливає, що аМ, то множина М співпадає з множиною N₀.

Формулювання аксіом 2 і 3 залишаються без змін. При заміні 1 на 0 в аксіомах Пеано, означеннях операцій додавання і множення, всі теореми, доведені для натуральних чисел, залишаються в силі для множини N₀.

Операції віднімання і ділення невід’ємних цілих чисел означаються як і для натуральних чисел, причому вважають. що ділення на нуль неможливе (Теорема)

Доведення:

Нехай аN₀ і b=0.

І. а  0; b = 0. Якщо існує частка c = a:b, то a = c·b, тобто a = c·0 = 0, що суперечить умові (a0), отже частки а:0 не існує.

ІІ. а = 0, b = 0. Якщо існує частка c = a:b, то a = c·b, або 0 = с·0, що вірно для всіх с, тобто результат ділення a:b визначається неоднозначно, а значить, результат ділення 0:0 не визначений.

Доведення методом математичної індукції:

Довести: 1+3+5+…+(2п – 1) = п²

І. Доведемо А(1) – і: 2·1-1=1²; 1=1-і

ІІ. Припустимо, що А(к) – і: 1+3+5+…+(2к-1)= к²- і

ІІІ. Доведемо, що 1+3+5+…+(2к –1) + (2(к+1) –1)= (к +1)²

1+3+5+…+(2к –1) + (2к+1) = (к + 1)² к + 2к+1= ( к + 1)² (к + 1)² = ( к + 1)² – і

дорівнює к² (за п.ІІ)

Висновок: дане твердження істинне для всіх натуральних чисел.

Теоретико-множинний підхід до поняття цілого невідємного числа

Дві множини називаються рівнопотужними (еквівалентними), якщо між їхніми елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність, тобто яким-небудь способом кожному елементу однієї множини поставити у відповідність один і тільки один елемент іншої множини, і навпаки.

У кількісній теорії натуральне число розглядається як кількісна характеристика деякого класу скінчених еквівалентних між собою множин, тобто як те спільне незмінне (інваріант), що характеризує всі множини даного класу.

Наприклад:

1) Число 5 – кількісна характеристика всіх множин, еквівалентних множині пальців однієї руки. 2) Число 0 – кількісна характеристика порожньої множини.

Сумою натуральних чисел a, b, c, … , k називається натуральне число s, що є кількісною характеристикою множини S – обєднання скінчених множин A, B, C, … , K без спільних елементів, що мають своїми кількісними характеристиками відповідно числа a, b, c, … , k.

Числа a, b, c, … , k називаються доданками, а операція знаходження їх суми – операцією додавання.

s = a + b + c + … + k, якщо S = ABC … K, причому

AB = AC = … = AK = BC = … = .

Зрозуміло, що A = A => a + 0 = 0 + a = a

 =  => 0 + 0 = 0.

На основі означення і властивостей обєднання множин доводяться основні закони додавання:

1. ( а; bN) ! cN / a + b = c – існування і єдиність суми.

2. ( а; bN) a + b = b + a – комутативний закон.

3. ( а; b; cN) a + (b + c) = (а + b) + c – асоціативний закон.

4. ( а; b; mN) a b <=> a + m b + m – закон монотонності.

Різницею натуральних чисел а і b називається натуральне число с, що є потужністю множини С, яка є різницею множини А і її підмножини В.

З означення видно, що різниця існує, якщо a > b (для множини N) і a  b (для множини N₀). Оскільки А \ А = , то а – а = 0.

Дія віднімання є дією, оберненою для додавання; вона полягає в знаходженні невідомого доданка с за відомими сумою а і другим доданком b.

Існують два підходи до введення добутку натуральних чисел:

1) через поняття декартового добутку;

2) через поняття суми рівних між собою натуральних чисел.

У початкових класах застосовують другий підхід, тому зупинимось саме на ньому.

Добутком натурального числа m на натуральне число k називається сума k доданків, кожен з яких дорівнює m.

Нехай маємо k еквівалентних множин, кожна потужності m:

А₁ = {₁; ₂; … ; _m}; А₂ = {₁; ₂; … ; _m}; … ; А_k = {₁; ₂; … ; _m}

Тоді обєднання S = A₁ A₂ …  A_k, а число елементів обєднання

n(S) = n(A₁) + n(A₂) + … + n(A_k) = = m  k

Закони множення.

1. ( а; bN) ! cN / a  b = c – існування і єдиність добутку.

2. ( а; bN) a  b = b  a – комутативний закон.

3. ( а; b; cN) a  (b  c) = (а  b)  c – асоціативний закон.

4. ( а; b; cN) (a + b)  c = ас + bc – дистрибутивний закон множення відносно

додавання.

5. ( а; b; mN) (a b) <=> (a·m b·m) – закон монотонності.

Діленням натурального числа а на натуральне число b називається дія по знаходженню такого натурального числа с, щоб виконувалась умова а = c b.