2. Теорема о свойствах векторного произведения
1)
Векторное произведение является
билинейным отображением из
в
.
2)
Если
,
то
.
Теорема о свойствах смешанного произведения
1)
(векторы
компланарны)
2) Смешанное произведение
является 3– линейной формой:
.
3)
,
то
3. Теорема о свойствах плоскости в пространстве
Пусть
заданы 3 плоскости
;
.
Тогда имеют место следующие утверждения.
1)
.
2)
3)
Плоскости
пересекаются в одной точке тогда и
только тогда, когда
.
4) плоскости
пересекаются по одной прямой тогда и
только тогда, когда
.
5)
.
6) Расстояние от точки
до плоскости
вычисляется по формуле
4. Теорема о свойствах эллипса
1)
Фиксируем ПДСК в
.
Обозначим сумму расстояний до фокусов
,
и расположим фокусы на оси
симметрично
относительно начала координат:
.
Положим
.
Тогда уравнение эллипса (каноническое)
будет иметь вид
.
2)
В каноническом уравнении эллипса
предполагается
;
отрезки
называются большими полуосями, а отрезки
- малыми полуосями
5. Теорема о биноме Ньютона и формуле Тейлора
(Бином
Ньютона)
.
(Формула
Тейлора)
6. Теорема о свойствах предела функции
1)
(лемма Гейне)
.
2) Если существует , то он единственный.
3) Если
монотонна и ограничена на
,
то существует конечный предел
.
4) существует ттт, когда существуют пределы функции справа и слева в этой точке и они равны.
Пусть существуют
конечные пределы
.
Тогда
5)
.
6)
.
7)
,
если
.
8) Если
,
то
7. Теорема о свойствах непрерывной функции
1) Линейная комбинация непрерывных функций есть функция непрерывная.
2) Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.
3) Частное непрерывных функций есть функция непрерывная в точках, где знаменатель не равен 0.
4) Композиция непрерывных функций есть функция непрерывная.
5)
Непрерывная на отрезке
функция достигает на нём своих наибольшего
и наименьшего значений.
6)
Если
непрерывна на
и
,
то
8. Теорема о свойствах производной
1)
.
2)
3)
4)
Пусть
монотонна, непрерывна в окрестности
и
дифференцируема в
и 
,
.
Тогда обратная функция
монотонна,
непрерывна в окрестности точки
,
дифференцируема в
и
.
5)
(производная сложной ф-ии) 
9. Теорема о монотонности и локальном экстремуме ф-ии
(монотонность)
Пусть функции
,
непрерывны на
,
дифференцируемы на
и
.
Тогда:
1)
(теорема Ролля) если
,
то
.
2)
(теорема Коши)
.
3)
(правило Лопиталя) Если
и существует конечный предел
,
то сущ-т
=A
(локальный
экстремум)1) Если
не возрастает (не убывает) и дифференцируема
на
,
то
.
2)
Если
,
то
возрастает (убывает) на
.
3)
(теорема Ферма) Если
- точка локального экстремума функции
,
и
дифференцируема в
,
то
.
4)
(первое достаточное условие экстремума).
Пусть
дифференцируема на
,
.
Если
и
,
то
- точка максимума (минимума) на
.
5)
(второе достаточное условие локального
экстремума). Пусть
имеет вторую производную
и
.
Если
,
то
- точка локального максимума (минимума).