Прогнозирование временных рядов на основе сезонных данных

До сих пор мы изучали временные ряды, состоящие из годовых данных. Однако многие временные ряды состоят из величин, измеряемых ежеквартально, ежемесячно, еженедельно, ежедневно и даже ежечасно. Как показано на рис. 2, если данные измеряются ежемесячно или ежеквартально, следует учитывать сезонный компонент. В этом разделе мы рассмотрим методы, позволяющие прогнозировать значения таких временных рядов.

В сценарии, описанном в начале главы, упоминалась компания Wal-Mart Stores, Inc. Рыночная капитализация компании 229 млрд. долл. Ее акции котируются на Нью-Йоркской фондовой бирже под аббревиатурой WMT. Финансовый год компании заканчивается 31 января, поэтому в четвертый квартал 2002 года включаются ноябрь и декабрь 2001 года, а также январь 2002 года. Временной ряд квартальных доходов компании приведен на рис. 22.

Рис. 22. Квартальные доходы компании Wal-Mart Stores, Inc. (млн. долл.)

Для таких квартальных рядов, как этот, классическая мультипликативная модель, кроме тренда, циклического и случайного компонента, содержит сезонный компонент: Y_i = T_i*S_i*C_i*I_i

Прогнозирование месячных и временных рядов с помощью метода наименьших квадратов. Регрессионная модель, включающая сезонный компонент, основана на комбинированном подходе. Для вычисления тренда применяется метод наименьших квадратов, описанный ранее, а для учета сезонного компонента — категорийная переменная (подробнее см. Введение в множественную регрессию раздел Регрессионные модели с фиктивной переменной и эффекты взаимодействия). Для аппроксимации временных рядов с учетом сезонных компонентов используется экспоненциальная модель. В модели, аппроксимирующей квартальный временной ряд, для учета четырех кварталов нам понадобились три фиктивные переменные Q₁, Q₂ и Q₃, а в модели для месячного временного ряда 12 месяцев представляются с помощью 11 фиктивных переменных. Поскольку в этих моделях в качестве отклика используется переменная logY_i, а не Y_i, для вычисления настоящих регрессионных коэффициентов необходимо выполнить обратное преобразование.

Чтобы проиллюстрировать процесс построения модели, аппроксимирующей квартальный временной ряд, вернемся к доходам компании Wal-Mart. Параметры экспоненциальной модели, полученные с помощью Пакета анализа Excel, показаны на рис. 23.

Рис. 23. Регрессионный анализ квартальных доходов компании Wal-Mart Stores, Inc.

Видно, что экспоненциальная модель довольно хорошо аппроксимирует исходные данные. Коэффициент смешанной корреляции r² равен 99,4% (ячейки J5), скорректированный коэффициент смешанной корреляции — 99,3% (ячейки J6), тестовая F-статистика — 1 333,51 (ячейки M12), а р-значение равно 0,0000. При уровне значимости α = 0,05, каждый регрессионный коэффициент в классической мультипликативной модели временного ряда является статистически значимым. Применяя к ним операцию потенцирования, получаем следующие параметры:

Коэффициенты интерпретируются следующим образом.

• Параметр = 18 416,376, сдвиг зависимой переменной Y, является значением некорректированного тренда квартальных доходов в первом квартале 1994 года, т.е. в первом временном периоде.

• Величина ( 1) х 100% = 3,66% оценивает темп роста квартальных доходов.

• Величина = 0,807 представляет собой сезонный множитель для первого квартала по отношению к четвертому кварталу. Это число означает, что доходы, полученные в первом квартале, на 19,3% меньше, чем доходы, полученные в четвертом квартале.

• Величина = 0,869 представляет собой сезонный множитель для второго квартала по отношению к четвертому. Это число означает, что доходы, полученные во втором квартале, на 13,1% меньше, чем доходы, полученные в четвертом квартале.

• Величина = 0,848 представляет собой сезонный множитель для третьего квартала по отношению к четвертому. Это число означает, что доходы, полученные в третьем квартале, на 15,2% меньше, чем доходы, полученные в четвертом квартале.

Используя регрессионные коэффициенты b_i, можно предсказать доход, полученный компанией в конкретном квартале. Например, предскажем доход компании для четвертого квартала 2002 года (X_i = 35):

logŶ_i = b₀ + b₁Х_i = 4,265 + 0,016*35 = 4,825

Ŷ_i = 10^4,825 = 66 834

Таким образом, согласно прогнозу в четвертом квартале 2002 года компания должна была получить доход, равный 67 млрд. долл. (вряд ли следует делать прогноз с точностью до миллиона). Для того чтобы распространить прогноз на период времени, находящийся за пределами временного ряда, например, на первый квартал 2003 года (X_i = 36, Q₁ = 1), необходимо выполнить следующие вычисления:

logŶ_i = b₀ + b₁Х_i + b₂Q₁ = 4,265 + 0,016*36 – 0,093*1 = 4,748

Ŷ_i = 10^4,748 = 55 976