4.5. Синтез узкополосного цифрового полосового фильтра (цпф) на основе квадратурной демодуляции/модуляции преобразуемого сигнала.
Идея этого метода заключается в таком преобразовании входного узкополосного полосового сигнала, чтобы задачу синтеза ЦПФ свести к известной задаче синтеза цифрового узкополосного ФНЧ.
С
этой целью необходимо так преобразовать
входной сигнал, чтобы область частот в
окрестности его центральной частоты
была трансформирована в область низких
частот (в окрестности нулевой частоты),
а после низкочастотной фильтрации снова
была возвращена в окрестность частоты
.
Для рассмотрения этой задачи мы воспользуемся методом квадратурной демодуляции/модуляции сигнала.
где
На выходе ФНЧ1:
где
На выходе ФНЧ2 и умножителя:
где
Очевидно,
что наш фильтр дает такой же отклик на
узкополосное воздействие 
,
как и ЦПФ, при условии, что заданные
свойства частотной избирательности
относительно центральной частоты
совпадают со свойствами частотной
избирательности ФНЧ, входящих в состав
этого фильтра.
Для снижения вычислительных затрат на реализацию этого фильтра, можно при построении ФНЧ осуществить многоступенчатую децимацию и интерполяцию сигнала, как было показано ранее. При этом, естественно, сохраняется общий недостаток фильтров построенных на децимации и интерполяции сигналов - наличие шумов децимации, из-за наличия боковых лепестков АЧХ в зоне непрозрачности. Через эти лепестки происходит проникновение шумов на выход ФНЧ, а далее ,из-за преобразования спектра, они попадают в полосу полезного сигнала.
Поставим вопрос: Почему нельзя было непосредственно в полосовом фильтре осуществить децимацию и интерполяцию, т.е. осуществить преобразование частоты дискретизации высокочастотного узкополосного сигнала?
Ответ: Этот процесс наталкивается на известные трудности, связанные с возможным наложением основной и боковых полос сигнала при децимации. Чтобы избежать этого эффекта, приходится накладывать определенные ограничения на выбор полосы частот и частоты дискретизации.
4.6. Цифровой гребенчатый фильтр (цгф).
До
сих пор мы рассматривали ЦФ выделяющий
узкую полосу частот либо вблизи нулевой
частоты (ФНЧ), либо вблизи некоторой
частоты 
(ПФ). Вместе с тем, в радиотехнике и связи
часто применяют цифровые гребенчатые
фильтры (ЦГФ), АЧХ которых в рабочем
диапазоне частот 
(где 
– частота дискретизации). Частота
дискретизации является периодической
с периодом, равным 
, где ν
- целое число.
При этом, как и в любом ЦФ, сохраняется
основная периодичность АЧХ с периодом,
равным
.
Такие фильтры применяют для выделения на фоне помех периодических последовательностей импульсов, спектр которых является дискретным.
Сравним
АЧХ обычного узкополосного ЦФНЧ (рис.1
а)) и ЦФГ (рис.1 б)) с одинаковой частотой
дискретизации, при 
рис.
1
Очевидно, что гребенчатую АЧХ можно получить с помощью исходного ФНЧ, работающего на пониженной в ν – раз частоте дискретизации входного сигнала (процесс децимации). Его АЧХ показана на рис.1 (в).
Рассмотрим
теперь импульсные характеристики (ИХ)
этих трех фильтров при идеальной АЧХ
ФНЧ, работающего с частотой дискретизации
.
Отсчеты ИХ представляют собой периодическую
последовательность с огибающей вида
.
рис.2
Ввиду
периодического характера АЧХ ГФ, его
ИХ (рис.2 б)) является прореженной
по сравнению с ИХ ФНЧ (рис.2 а)) (сохраняется
лишь каждый ν-тый отсчет этой ИХ, а в
промежутках между ними находится
нулевых
отсчетов).
Очевидно,
что ИХ ГФ «похожа» на ИХ ФНЧ, работающего
на пониженной в ν – раз частоте
дискретизации (рис.2 в)) (отсчеты ИХ идут
в ν – раз реже), чем при исходной
дискретизации. Похожесть двух ИХ дает
возможность записать ИХ ГФ:
0, при
При
построении ГФ в классе КИХ – цепей
ограничивают количество отсчетов ИХ
до некоторого числа N и задерживают ИХ
на 
, чтобы выполнить условие физической
реализуемости фильтра.
Алгоритм
работы такого ГФ можно записать в виде:
На рис.3 изображена соответствующая этому алгоритму структурная схема ГФ.
рис.3
Сравним
эффективность ГФ и исходного ФНЧ с точки
зрения вычислительных затрат 
:
для
ФНЧ 
для
ГФ 
Вычислительные
затраты на реализацию ГФ по отношению
к узкополосному ФНЧ оказываются в 
-
раз меньше, благодаря
–
кратной прореженности ИХ (децимации
ИХ).
В
то же время, как и в ФНЧ, в ГФ приходится
осуществлять, через интервал времени
T, сдвиг всего N – мерного массива отсчетов
входного сигнала, хотя на каждом текущем
периоде обработки используется только
- отсчетов из N – отсчетов. Поэтому во
многих случаях вместо прямой формы
построения ГФ используют полифазную
форму.
Принцип
полифазного построения ЦФ заключается
в следующем: последовательность входных
отсчетов 
разбивают на
прореженных последовательностей,
сдвинутых друг относительно друга и
имеющих пониженную в 
- раз частоту дискретизации.
Пример:
рис.4
Эти последовательности называют фазами.
Каждая
из этих последовательностей далее
пропускается через исходный (базовый)
ФНЧ, но работающий на пониженной в 
- раз частоте дискретизации. При этом
частотные свойства каждого из этих
частичных фильтров должны совпадать с
частотными свойствами исходного фильтра.
Таким
образом, мы заменяем один фильтр,
работающий на исходной частоте
дискретизации 
,
набором из
фильтров (
),
работающих на частоте дискретизации
.
При
этом, отбрасывание
лишних
(нулевых) отсчетов производится еще до
фильтрации, т.е. мы избавляемся от
операций по их расчету.
Для
восстановления исходной частоты
дискретизации сигнала, после фильтрации
частичными фильтрами, необходимо
вставить между отсчетами каждой
последовательности по 
нулей, затем осуществить соответствующую
задержку полученных последовательностей
и их сложение.
Условное изображение схемы полифазной реализации ГФ показано на рис.5:
рис.5
Заметим, что стоящие на входе этой схемы линии задержки и блоки понижения частоты нужны лишь для того, чтобы обеспечить одновременную подачу «кадров» (наборов из входных отсчетов на входы частичных фильтров).
Гораздо проще такую операцию можно реализовать с помощью демультиплексора, осуществляющего периодическую коммутацию входного сигнала с частотой равной частоте дискретизации, как показано на рис.6.
рис.6
Частота дискретизации .
При этом считается, что результаты фильтрации сохраняются на выходах частичных фильтров в течение всего цикла коммутации, чтобы в дальнейшем осуществить правильное сложение выходных сигналов.
Что касается выходной части этой схемы, то блоки выборки нулей, линии задержки и сумматор могут быть заменены мультиплексором, осуществляющим коммутацию выходов частичных фильтров с частотой равной частоте дискретизации, как показано на рис.7.
рис.7
Такая замена объясняется тем, что на каждом такте только на выходе одного частичного фильтра появляется ненулевой отсчет. Эти отсчеты поочередно подаются на выход схемы.
Заметим, что полифазная форма реализации ГФ не дает преимуществ в вычислительных затратах по сравнению с прямой формой, но позволяет более эффективно управлять памятью данных и процессом обработки сигнала при одновременном понижении частоты дискретизации.