10.6. Вихревое электрическое поле. Ток смещения

Из закона индукции Фарадея следует, что изменение сцепленного с замкнутым проводом потока Ф_м магнитной индукции приводит к возникновению э.д.с. в неподвижном контуре, т. е. в нем возникают сторонние силы не электростатического происхождения, действующие на покоящиеся заряды. Дж. К. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое служит причиной возникновения индукционного тока в контуре. При этом контур, в котором появляется э.д.с., является всего лишь «индикатором» наличия этого поля.

Д

Рис.10.6.1

ля установления количествен­ной взаимосвязи между меняющимся электрическим полем и возбуждаемым за счет этого магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения I_см. Согласно теории Максвелла в цепи переменного тока, содержащей, например, заряжающийся и разряжающийся конденсатор (см рис.10.6.1), переменное электрическое поле создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками проходил ток I_см, равный току проводимости I в подводящих проводах. Выразим ток смещения через характеристики поля между пластинами, считая поле между пластинами однородным.

. (10.6.1)

З десь Q – заряд на пластинах, s – поверхностная плотность заряда на пластинах, D – модуль электрической индукции (электрического смещения) между пластинами. Напомним, что для плоского конденсатора D = e₀ e E = s. Из (10.6.1) следует, что производная имеет размерность плотности тока (А/м²).

Максвелл ввел величину

, (10.6.2)

которую назвал плотностью тока смещения, и дал следующее определение для тока смещения. Ток смещения через поверхность S равен потоку вектора j_см через эту поверхность:

. (10.6.3)

Максвелл предположил, что токи смещения наравне с обычными токами проводимости играют существенную роль в создании магнитного поля. Используя введенное им понятие плотности полного тока

, (10.6.4)

Введя понятие полного тока, Максвелл по-новому подошел к вопросу замкнутости цепей переменного тока. Цепь полного тока всегда замкнута, на концах проводника обрываются лишь ток проводимости I, а в диэлектрике (вакууме) имеется ток смещения I_см, который замыкает ток проводимости.

10.7. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Теория Максвелла представляет собой феноменологическую теорию электромагнитного поля. В ней не рассматриваются молекулярное строение среды и внутренние механизмы процессов, происходящих в среде в электромагнитном поле. Электрические и магнитные свойства среды характеризуются тремя величинами: диэлектрической проницаемостью e, магнитной проницаемостью m и удельной электрической проводимостью s.

Теория Максвелла – макроскопическая теория. В ней рассматриваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, т. е. таких систем покоящихся и движущихся зарядов, пространственная протяженность которых намного больше размеров атомов и молекул.

В основе теории лежат четыре уравнения, которые могут быть представлены в двух формах: интегральной и дифференциальной. Полную систему уравнений Максвелла в интегральной форме составляют приведенные ниже уравнения (10.7.1) – (10.7.4).

Первое уравнение является обобщением закона электромагнитной индукции. Оно имеет следующий вид

. (10.8.1)

Э то уравнение означает, что циркуляция напряженности E электрического поля по произвольному замкнутому контуру L , мысленно проведенному в электромагнитном поле, равна взятому с обратным знаком потоку вектора через поверхность S, ограниченную этим контуром. Иными словами с переменным магнитным полем связано индуцированное вихревое электрическое поле. Причем это электрическое поле существует, не зависимо от того, находится в нем проводник или нет.

Второе уравнение Максвелла

(10.7.2)

о значает, что циркуляция напряженности H магнитного поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру L, мысленно проведенному в электромагнитном поле, равна полному току через поверхность S, ограниченную этим контуром. Полный ток равен сумме тока проводимости и тока смещения

.

Из этого уравнения следует, что даже в отсутствие тока электрических зарядов возникает индуцированное магнитное поле, связанное с переменным электрическим полем.

Третье уравнение является обобщением электростатической теоремы Гаусса. Оно имеет вид

, (10.7.3)

где r – объемная плотность свободных зарядов.

Это уравнение означает, что поток электрической индукции (электрического смещения) D через произвольную неподвижную замкнутую поверхность S, мысленно проведенную в электромагнитном поле, равен суммарному свободному заряду в объеме V, ограниченном этой поверхностью.

Четвертое уравнение

(10.7.4)

означает, что поток магнитной индукции B, через произвольную неподвижную замкнутую поверхность S, мысленно проведенную в электромагнитном поле, равен нулю.

Величины, входящие в уравнения Максвелла, связаны дополнительными соотношениями (материальными уравнениями), которые учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Для изотропной не сегнетоэлектрической и не ферромагнитной среды эти уравнения имеют вид

; (10.7.5)

; (10.7.6)

. (10.7.7)

можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной (локальной) форме:

; (10.7.8)

; (10.7.9)

; (10.7.10)

. (10.7.11)

При заданных значениях e, m, s и известных E(x,y,z) и H(x,y,z) в начальный момент времени t=0 система дифференциальных уравнений Максвелла (10.7.8) – (10.7.11) имеет единственное решение.

Если электрическое и магнитное поля стационарны, т.е. ,

то, как следует из уравнений (10.7.8) – (10.7.11), эти поля существуют независимо друг

от друга. В этом случае электрическое поле описывается двумя основными уравнениями электростатики:

. (10.7.12)

Соответственно магнитное поле описывается двумя основными уравнениями магнитостатики:

. (10.7.13)

Из теории Максвелла вытекает ряд важных выводов:

1 . Существуют электромагнитные волны, то есть распространяющееся в пространстве и во времени электромагнитное поле. Электромагнитные волны поперечны – векторы Е и В перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (рис. 10.9.1).

Э

Рисунок 10.9.1.

Синусоидальная (гармоническая) электромагнитная волна. Векторы Е,В и v взаимно перпендикулярны.

Рис.10.9.1. Плоская монохроматическая волна

лектромагнитная волна называется монохроматической, если ее векторы Е и В совершают гармонические колебания постоянной одинаковой частоты, называемой частотой волны. Уравнение плоской монохроматической волны (рис.10.9.1) распространяющейся вдоль оси Оz (колебания векторов Е и В происходят соответственно вдоль осей Oy и Ox):

где Е и В – амплитуды напряженности электрического и индукции магнитного полей в электромагнитной волне,  - циклическая частота колебаний векторов Е и В, v – скорость распространения волны.

2 . Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью:

З десь ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, ε₀ и μ₀ – электрическая и магнитная постоянные: ε₀ = 8,85419·10^–12 Ф/м, μ₀ = 1,25664·10^–6 Гн/м.

Скорость электромагнитных волн в вакууме (ε = μ = 1):

Скорость c распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных.

3 . В электромагнитной волне происходят взаимные превращения электрического и магнитного полей. Эти процессы идут одновременно, и электрическое и магнитное поля выступают как равноправные «партнеры». Поэтому объемные плотности электрической и магнитной энергии равны друг другу: w_э = w_м.

О тсюда следует, что в электромагнитной волне модули индукции магнитного поля В и напряженности электрического поля Е в каждой точке пространства связаны соотношением

4. Электромагнитные волны переносят энергию. При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии. Если выделить площадку S (рис. 10.9.1), ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны, то за малое время Δt через площадку протечет энергия ΔW_эм, равная ΔW_эм = (w_э + w_м)υSΔt.

Плотностью потока или интенсивностью I называют электромагнитную энергию, переносимую волной за единицу времени через поверхность единичной площади:

П одставляя сюда выражения для w_э, w_м и υ, можно получить:

Поток энергии в электромагнитной волне можно задавать с помощью вектора I направление которого совпадает с направлением распространения волны, а модуль равен EB / μμ₀. Этот вектор называют вектором Пойнтинга (1885 г.).

В синусоидальной (гармонической) волне в вакууме среднее значение I_ср плотности потока электромагнитной энергии равно

где E₀ – амплитуда колебаний напряженности электрического поля.

Плотность потока энергии в СИ измеряется в ваттах на квадратный метр (Вт/м²).