3. Теорема Жуковского о подъемной силе профиля в решетки профилей

Под плоской решеткой профилей (рис. 1) понимают бесконечную совокупность периодично расположенных в плоскости одинаковых крыловых профилей, каждый из которых получается из смежного паралельным переносом на некоторую, называемую шагом длину t в направлении, определяющем ось решетки.

Угол β между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки иногда называют углом выноса, дополнительный угол β' — углом установки профиля. Вектор t, равный по длине шагу и направленный перпендикулярно к оси решетки в сторону течения, назовем вектором-шагом.

В отличие от одиночного профиля, в бесконечном удалении впереди и позади решетки скорости в общем случае различны как по величине, так и по направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего на нее потока, но и поворачивает поток.

Обозначим (рис.2) вектор скорости потока в бесконечности перед решеткой через V₁, давление — через р₁, соответственно вектор скорости и давление в бесконечном удалении за решеткой — через V₂ и р₂; плотность повсюду одинакова и равна ρ.

Рассмотрим в плоскости чертежа трубку тока, образованную двумя какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собой трубки тока, так как обтекание обладает свойством периодичности с периодом, равным шагу.

Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за контрольную поверхность только что выделенную трубку тока и два бесконечно удаленных сечения трубки σ₁ и σ₂, параллельные оси решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая через R главный вектор сил давления потока на профиль, будем иметь

(106)

Величины , представляют равные между собой секундные объемные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока а (-R) есть главный вектор сил давления профиля на поток.

Предполагая поток вихревым и применяя теорему Бернулли, получим

или, представляя разность суммы векторов скоростей как скалярное произведение суммы векторов скоростей на их разность,

Ввелем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю векторную скорость

и скорость девиации потока

характеризующую отклонение потока решеткой.

Тогда будем иметь

(107)

н равенство (106) перепишется в форме

Выражение, стоящее справа, представляет разложение двойного векторного произведения, так что окончательно получим

(108)

Замечая, что по (107) вектор-шаг t перпендикулярен к скорости девиации потока V_d, а вектор t х V₂ перпендикулярен к плоскости течения, т. е. и V_m, найдем величину главного вектора в виде

(109)

Векторное равенство (108) представляет в явной форме зависимость главного вектора R от плотности жидкости, шага t решетки и двух характерных скоростей — средней V_m и скорости девиации V_d потока. Скалярное равенство (109) определяет величину главного вектора сил давления потока на профиль в решетке как произведение плотности жидкости, шага решетки, средней скорости и скорости девиации. Из векторного равенства (108) следует, что главный вектор R лежит в плоскости течения и направлен по перпендикуляру к средней скорости V_m в сторону, определяемую векторным произведением (108).

Введем единичные векторы оси решетки а и нормали к плоскости чертежа в сторону читателя k, направив их так, чтобы совокупность векторов t, а и k образовывала триэдр, сонаправленный с принятой нравой системой координат (вектор t не единичный, его величина равна шагу). Замечая, что, согласно (107), вектор V_d = V₂ – V₁ направлен параллельно оси решетки, получим

и, следовательно,

Определим циркуляцию скорости Г по контуру, составленному из сечений σ₁, σ₂ и двух линий тока, смещенных на шаг. Составляя интеграл по положительному направлении обвода контура, показанному на рис. 2, получим (σ₁= σ₂= t*1)

так как интегралы по смещенным на шаг линиям тока равны по величине и противоположны по знаку. Итак, , а, следовательно, по (108)

(110)

формула эта соответствует формуле для единичного профиля, причем средняя векторная скорость V_m заменяет скорость на бесконечности V_∞.

Устремим величину шага t к бесконечности, сохраняя в то же время величину циркуляции. При этом разность V_2а — V_1а должна стремиться к нулю, что при наличии равенства (107) приводит к установлению общей скорости V_∞ вместо V_m, и формула (110) переходит в формулу Жуковского для единичного профиля

Правило определения направления вектора R по (110) остается тем же, что и для единичного профиля. Вектор R имеет направление вектора V_m, повернутого в плоскости течения на 90° в сторону, противоположную направлению циркуляции, т. е. тому направлению обхода контура интегрирования, при котором циркуляция окажется положительной М.