11.2.Гармонические колебания и их характеристики

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания при которых колеблющаяся величина изменяется по гармоническому закону – закону синуса или косинуса.

Гармонические колебания величины s описываются уравнением вида

, (11.1)

где: s – смещение;

A – амплитуда (максимальное значение s) колебания;

ω – круговая (циклическая) частота;

φ₀ – начальная фаза колебания в момент времени t = 0;

(ωt +φ₀) – фаза колебания в момент времени t.

Так как косинус меняется от +1 до -1, то s может принимать значения от + А до – А.

Промежуток времени Т, через который определенные состояния системы повторяются, называется периодом колебания. За период фаза колебания получает приращение 2π, т.е.

, откуда (11.2)

период колебаний и циклическая частота : или

, с. , с^-1 (11.3)

Частота колебаний , n – величина, обратная периоду, показывающая число полных колебаний (периодов) совершаемых в единицу времени:

или [Гц] (11.4)

Сравнивая (11.3) и (11.4), получаем: (11.5)

Если тело вращается и делает оборотов в секунду, то:

, а (11.5́)

11.3. Другие формы представления гармонических колебаний

а) Существует еще одна форма описания гармонических колебаний, в которой гармонические колебания описываются дифференциальным уравнением второго порядка.

Возьмем первую (скорость) и вторую (ускорение) производные по времени от величины (11.1):

Скорость колеблющейся точки :

(11.6)

Ускорение колеблющейся точки :

(11.7)

Получили также гармонические колебания скорости и ускорения с той же частотой и амплитудами и , соответственно. Фаза колебаний скорости (11.6.) отличается от фазы колебаний смещения (11.1) на π/2, а фаза колебаний ускорения (11.7) отличается от от фазы колебаний смещения – на π.

а) Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Гармонический осциллятор

Из выражения (11.7) следует , или

(11.8)

где .

Это же выражение является решением этого уравнения.

ω – циклическая (круговая) частота,

t – время.

Колебательная система, описываемая уравнением вида (11.8) называется гармоническим осциллятором

б) Изображение гармонических колебаний

методом вращающегося вектора амплитуды или

методом векторных диаграмм

Гармонические колебания могут изображаться графически методом вращающегося вектора амплитуды или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x, под углом φ, равным начальной фазе колебаний, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания (Рис. 11.2).

Е сли этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от +А до –А, а колеблющаяся величина s будет изменяться по закону

Т.обр., гармонические колебания можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом φ, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг этой точки.

в) Представление гармонических колебаний комплексным числом

В физике часто применяется еще одна форма представления гармонических колебаний, в которой колеблющуюся величину представляют комплексным числом (Рис. 11.3). Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел справедлива запись:

, (11.9)

где - мнимая единица.

- фаза гармонического

колебания

Поэтому, полагая фазу , уравнение гармонического колебания (11.1) можно записать в комплексной форме:

(11.10)

Вещественная часть (11.10):

представляет собой гармоническое колебание.

Обозначение Re вещественной части будем опускать и (11.10) будем записывать в виде:

(11.11)

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения (11.11).